소 아이디얼: 두 판 사이의 차이
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* {{서적 인용|장=Prime ideals in Noetherian rings: a survey | doi=10.1007/978-3-0346-0007-1_13 | url=http://www.math.unl.edu/~rwiegand1/Primes/paper.pdf | 이름=Roger | 성=Wiegand | 이름2=Sylvia | 성2=Wiegand | 제목=Ring and module theory | 쪽=175–193 | 출판사=Springer-Verlag | 총서=Trends in Mathematics | 날짜=2010 | editor1-first=Toma |editor1-last=Albu | editor2-first= Gary F. |editor2-last=Birkenmeier|editor3-first=Ali|editor3-last= Erdoğan|editor4-first=Adnan|editor4-last=Tercan|isbn=978-3-0346-0006-4| 언어=en}} |
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== 바깥 고리 == |
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2016년 4월 24일 (일) 05:31 판
환론에서, 소 아이디얼(素ideal, 영어: prime ideal)은 아이디얼 가운데 소수와 같은 성질을 갖는 것들이다. 가환환의 소 아이디얼은 대수기하학에서 아핀 스킴의 부분다양체에 대응하며, 아핀 스킴의 위상 공간의 한 점을 이룬다.
정의
환 의 양쪽 진 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 소 아이디얼이라고 한다.
- 임의의 두 양쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.[1]:155, Definition 10.1
- 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.[1]:155, Proposition 10.2
- 임의의 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.[1]:155, Proposition 10.2
- 임의의 오른쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.[1]:155, Proposition 10.2
- 임의의 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 만약 라면 이거나 이다.[1]:155, Proposition 10.2
- 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.[1]:156, Corollary 10.4
- 몫환 가 소환이다.[1]:158
환 의 양쪽 진 아이디얼 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 진 아이디얼을 완전 소 아이디얼(完全素ideal, 영어: completely prime ideal)이라고 한다.
연관 소 아이디얼
환 의 왼쪽 가군 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 (영가군이 아닌) 부분 가군 의 소멸자가 의 소멸자와 같다면, 을 소가군(영어: prime module)이라고 한다.
소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.[1]:85
의 왼쪽 가군 의 연관 소 아이디얼(영어: associated prime ideal)은 의 부분 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 의 소 아이디얼이다.
성질
일반적인 환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
그러나 완전 소 아이디얼과 극대 아이디얼 사이에는 포함 관계가 존재하지 않는다.
임의의 환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 영 아이디얼이 소 아이디얼이다.
- 소환이다.
임의의 환 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 영 아이디얼이 완전 소 아이디얼이다.
- 영역이다.
(극대 아이디얼의 경우 마찬가지로 단순환에 대응한다.)
자명환이 아닌 환은 초른의 보조정리에 따라 항상 하나 이상의 소 아이디얼을 갖는다 (특히, 하나 이상의 극대 아이디얼을 갖는다). 주어진 환 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합은 항상 하나 이상의 극소 원소들을 가지며, 또한 임의의 소 아이디얼 에 대하여, 에 포함되는 극소 소 아이디얼이 존재한다.
가환환의 소 아이디얼
가환환의 아이디얼에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
가환환 의 진 아이디얼 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
- 는 소 아이디얼이다.
- 는 완전 소 아이디얼이다.
- 가 정역이다.
가환환 의 소 아이디얼 의 여집합 가 모노이드를 이루므로, 에 대하여 국소화를 취할 수 있다. 이 경우 는 국소환을 이룬다.
가환환의 준동형 및 의 소 아이디얼 에 대하여, 는 의 소 아이디얼이다. (이는 비가환환의 경우 일반적으로 성립하지 않는다.)
가환환의 소 아이디얼의 이러한 성질들은 대수기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이러한 이유 때문에, 환의 스펙트럼은 더 기하학적으로 자연스러운 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 사용한다.
- 소 아이디얼의 준동형에 대한 원상이 소 아이디얼이므로, 이는 가환환의 범주에서 집합의 범주(또는 다른 구체적 범주)로 가는 반변 함자를 이룬다. 다시 말해, 환 준동형은 아핀 스킴 사이의 함수를 정의한다.
- 소 아이디얼의 여집합은 모노이드를 이루므로, 소 아이디얼에서 국소화를 취할 수 있으며, 이렇게 하여 얻은 환은 국소환이다. 즉, 환의 구조는 소 아이디얼에 대하여 국소적이다.
소원
가환환 의 원소 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 소원(素元, 영어: prime element)이라고 한다.[2]:284
정역에서, 모든 소원은 기약원이지만,[2]:284, Proposition 8.11 그 역은 성립하지 않는다. 다만, 유일 인수 분해 정역에서는 기약원의 개념과 소원의 개념이 일치한다. 예를 들어, 유수가 1이 아닌 대수적 정수환 에서, 3은 기약원이지만 다음과 같이 소원이 아니다.[2]:284
높이
가환환 의 소 아이디얼 의 높이 는 그 속에 포함되는 소 아이디얼들의 사슬의 길이의 상한이다.
특히, 높이가 0인 소 아이디얼은 포함 관계에 따라서 극소 원소인 소 아이디얼과 같으며, 이를 극소 소 아이디얼(極小素ideal, 영어: minimal prime ideal)이라고 한다.
예를 들어,
- 가환 아르틴 환의 경우 (크룰 차원이 0이므로) 극소 소 아이디얼 · 소 아이디얼 · 극대 아이디얼의 개념이 일치한다.
- 정역의 경우 유일한 극소 소 아이디얼은 영 아이디얼이다.
- 가환 뇌터 환은 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는다. (이는 에미 뇌터가 증명하였다.)
예
정수환 의 소 아이디얼들은 소수와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소수 는 의 배수들로 구성된 아이디얼 와 대응한다. 이런 의미에서 소 아이디얼은 소수의 일반화라고 볼 수 있다. 수론에서 소수 가 두 정수의 곱 를 나누면 는 나 둘 중 하나를 나눈다는 것은 잘 알려진 사실이다. 이 경우, 이라는 첫 조건은 1을 소수로 치지 않는다는 사실과 같다.
유한 아벨 군 가 주어졌다고 하자. 를 정수환 위의 가군으로 간주하였을 때, 의 연관 소 아이디얼들은 의 크기의 소인수(로 생성되는 주 아이디얼)이다.
역사
역사적으로, 아이디얼의 개념은 수체의 대수적 정수환이 일반적으로 유일 인수 분해 정역이 아니라는 발견에서 비롯되었다. 수체의 대수적 정수환은 항상 데데킨트 정역이므로 아이디얼에 대해서는 유일 인수 분해가 성립하며, 이 경우 아이디얼의 소인수 분해에서 대응하는 "소수"는 소 아이디얼이다.
비가환환에서의 소 아이디얼의 정의는 볼프강 크룰이 1928년에 제시하였다.[3]
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 Lam, Tsit-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285.
- ↑ 가 나 다 Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003.
- ↑ Krull, Wolfgang (1928). “Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen”. 《Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften》 (독일어) 7: 3-14. JFM 54.0156.01.
- Wiegand, Roger; Wiegand, Sylvia (2010). 〈Prime ideals in Noetherian rings: a survey〉. Albu, Toma; Birkenmeier, Gary F.; Erdoğan, Ali; Tercan, Adnan. 《Ring and module theory》 (PDF). Trends in Mathematics (영어). Springer-Verlag. 175–193쪽. doi:10.1007/978-3-0346-0007-1_13. ISBN 978-3-0346-0006-4.
바깥 고리
- Zhevlakov, K.A. (2001). “Prime ideal”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime ideal”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Prime element”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.