범주론과 추상대수학에서 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.
구체적 범주
가 주어졌다고 하고, 망각 함자
의 왼쪽 수반 함자
![{\displaystyle F\dashv \operatorname {Forget} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66def20ec7256798f3f43bda9dc7d90c5dfb4c87)
가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합
로부터 생성되는,
속의 자유 대상은
에 대한 상
이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수
가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다.
대수 구조 다양체의 범주
의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다.
구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체
의 연산들이
이며, 그 항수가
라고 하자. 또한,
에서 성립하는 대수적 관계들이
라고 하자. 또한, 임의의 집합
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle T_{0}=S}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041fffd23bb33b2fface080ee6a1fadbc1e0a033)
![{\displaystyle T_{r+1}=T_{r}\sqcup \bigsqcup _{i\in I}\overbrace {T_{r}\times \cdots \times T_{r}} ^{n_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa07e5eac29b6f6f00a5a7d77d7ebb616f0f1ba1)
를
로 표기하자.
는 대수 구조 연산을
번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.
그렇다면, 이들의 합집합
![{\displaystyle T=\bigcup _{i=0}^{\infty }T_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef0b08290462dc5b58bef9646828e9ce7fdcc81)
를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.
를 정의하는 대수적 관계들은
위의 동치 관계
로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을
의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면,
로부터 생성되는 자유 대수
는 몫집합
이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.
![{\displaystyle f_{i}([t_{1}],[t_{2}],\dots ,[t_{n_{i}}])=[f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0003c49dcf0bea266805b7888106dfe112be78)
여기서
은 동치 관계
에 대한 동치류이다.
대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.
- 집합의 범주: 집합
위의 "자유 집합"은
자신이다.
- 점을 가진 집합의 범주: 집합
위의 "자유 점을 가진 집합"은
이다.
- 모노이드의 범주: 클레이니 스타
![{\displaystyle S^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b059338b0f6bc81c4edf97c51ce987e98f4bf23e)
- 군의 범주: 자유군
- 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군
![{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\oplus |S|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3182d70eb2f8294a7067c5f2a5be3836a45fc390)
- 가환환
위의 왼쪽 가군의 범주: 집합
위의 자유 가군
- 만약
가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다. 이 경우, 집합
위의 자유 가군은
를 기저로 하는 벡터 공간
이다.
- 체
위의 단위 결합 대수의 범주: 집합
위의 자유 단위 결합 대수는
를 기저로 하는 벡터 공간
위의 텐서 대수
이다.
- 체
위의 가환 대수의 범주: 다항식환 ![{\displaystyle K[S]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527739d0f75b19403512deb18bff6df9c66c14c6)
- 체
위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수
대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.
- 위상 공간의 범주
: 이산 공간
- 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주
: 집합
에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간
의 스톤-체흐 콤팩트화이다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]