리 군 이론에서, 이와사와 분해([岩澤]分解, 영어: Iwasawa decomposition)는 그람-슈미트 과정을 반단순 리 군에 일반화하여, 리 군의 원소를 멱영 성분·가환 성분·콤팩트 성분으로 나누는 분해이다.[1]:197–204[2]
리 대수의 이와사와 분해[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 실수 반단순 리 대수
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a913b1503ed9ec94361b99f7fd59ef60705c28)
의 카르탕 대합 ![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
그렇다면, 이에 대한 카르탕 분해
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578c1225c7847477ccbafa7548bb88f3b3778fc0)
를 정의할 수 있다. 여기서
는 콤팩트 리 대수이며,
는 일반적으로 리 대수가 아닌 실수 벡터 공간이다.
가
속의 (임의로 고른) 극대 가환 부분 리 대수라고 하자. 그렇다면
에 기저를 잡아 기저에 임의의 순서를 가하고,
이
의 제한근 가운데 양의 제한근에 대응하는 제한근 공간들의 직합이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은, 실수 벡터 공간의 직합이 성립한다.
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62783c2ff9ea15e0a42bb8f0cd051adad9a7ff27)
이를
의 이와사와 분해라고 한다.
리 군의 이와사와 분해[편집]
가 연결 실수 반단순 리 군이라고 하자. 그렇다면 그 리 대수의 이와사와 분해
에 대응하여, 각각의 지수 사상의 상
![{\displaystyle K=\exp({\mathfrak {k}})\subset G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a85e4c986f1c8cbf406e99343322df5ec411445)
![{\displaystyle A=\exp({\mathfrak {a}})\subset G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c857c4702abb623d9b0f47f904975c4bf1cb9bc7)
![{\displaystyle N=\exp({\mathfrak {n}})\subset G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/130c5fd7b57619757e576aac633bea9c5960593d)
을 정의할 수 있다. 이 경우
는 콤팩트 반단순 리 군이며,
의 닫힌 부분군이자 최대 콤팩트 부분군이다.
의 중심을 포함한다.
는 단일 연결 아벨 리 군이며,
의 닫힌 부분군이다.
은 단일 연결 멱영 리 군이며,
의 닫힌 부분군이다.
그렇다면, 다음과 같은 미분 동형이 존재한다.[1]:203, Theorem 29.3 (물론, 이는 일반적으로 군 준동형이 아니다.)
![{\displaystyle K\times A\times N\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84caf99fc8605a25f86975472bfee878b4d38ad)
따라서, 임의의 원소
를
![{\displaystyle g=k(g)a(g)n(g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a363892f1cce88a04dc8e8cee96cfd8fff6f95)
![{\displaystyle k(g)\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9247971467f5423ed883e887a89a6b61957e174a)
![{\displaystyle a(g)\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddde6e8bc2a4fc30d046095896342e252afc1c7)
![{\displaystyle n(g)\in N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3197273dc4e4fa80105672cb47e6b5bebd573fba)
과 같이 분해시킬 수 있다. 이것이 리 군의 이와사와 분해이다.
만약
가 연결 공간이 아닌 반단순 리 군인 경우, 만약
의 중심이 유한군이라면 역시 이와사와 분해를 정의할 수 있다. 이 경우,
는
의 (연결 공간이 아닌) 최대 콤팩트 부분군이다.
리 군 또는 리 대수의 실수 계수(영어: real rank)는 그 아벨 성분의 실수 차원이다.
실수 반단순 리 대수
의 이와사와 분해
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62783c2ff9ea15e0a42bb8f0cd051adad9a7ff27)
의 각 성분은 다음과 같은 성질을 갖는다.
는 콤팩트 리 대수이다. 즉, 그 킬링 형식은 음의 정부호이다.
는 가환 리 대수이다. 즉,
이다.
은 멱영 리 대수이다. 즉, 충분히 큰 양의 정수
에 대하여 ![{\displaystyle \overbrace {[{\mathfrak {n}},[{\mathfrak {n}},[\cdots [{\mathfrak {n}},{\mathfrak {n}}]\cdots ]} ^{n{\text{ times}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a3b8c22d775569f28d207b4ad041e51bea68b0a)
이다.
카르탕 분해와의 관계[편집]
반단순 리 대수
의 카르탕 대합
이 주어졌을 때, 카르탕 분해
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578c1225c7847477ccbafa7548bb88f3b3778fc0)
를 정의할 수 있다. 이는 같은
에 대한 이와사와 분해
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62783c2ff9ea15e0a42bb8f0cd051adad9a7ff27)
와 다음과 같은 관계를 갖는다.
- 카르탕 분해의
는 이와사와 분해의
와 같다.
- 카르탕 분해의
는 이와사와 분해의
를 극대 아벨 부분 대수로서 포함한다. (그러나
은 일반적으로
의 부분 대수도,
의 부분 대수도 아니다.)
- 카르탕 분해에서,
는 일반적으로 리 대수가 아니다. 반면 이와사와 대수의
와
은 둘 다 리 대수이다.
- 카르탕 분해에서,
와
는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다. 이와사와 분해에서,
와
는 킬링 형식에 대하여 서로 직교이지만,
은
및
와 직교일 필요가 없다.
대표적인 리 군의 이와사와 분해는 다음과 같다.
군 |
콤팩트 성분 |
아벨 성분 |
멱영 성분
|
실수 일반선형군 ![{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27624b52908a0452895ef7b7798a6660bf239e36) |
직교군 ![{\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10b4b5d4e35714df13c043768dd1e6b3a44ce922) |
양의 대각행렬군 ![{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87173fc2490ee565f2c9cb76cefb28cabc86b8a) |
대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
|
실수 특수선형군 ![{\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24a96aa98eb162511808745d2a75af537de3600) |
특수직교군 ![{\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7cf1fa28feaab4036ae3df94a5a82fb5dcbc7b) |
행렬식이 1인 양의 대각행렬군 ![{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+})^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b32b98d54937943d2b7187e27b67e4a07c71ad) |
대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬군
|
2×2 실수 특수선형군 ![{\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3d7a096901753b8029c8e6ad683a35806cb51) |
![{\displaystyle S^{1}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed92242b5b7f1056a28b30a822034bebdcb97519) |
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cong \left\{{\scriptstyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}}|y\in \mathbb {R} ^{+}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd1d1a7c48a7367e0d706b19d942661821882c1) |
|
복소 일반선형군 ![{\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c47c9aa8bae7df52f562932d18c8b0aa39a545) |
유니터리 군 ![{\displaystyle \operatorname {U} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c87a50f9d99d0bf5a1506d6d37ccbd31d31e3d5) |
양의 대각행렬군 ![{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87173fc2490ee565f2c9cb76cefb28cabc86b8a) |
대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
|
복소 특수선형군 ![{\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb5de04b309c90be458fd3bbf0b53ccb7e47c1a) |
유니터리 군 ![{\displaystyle \operatorname {SU} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31937ff2e5d88617cd98e982a475a6bf481b321c) |
행렬식이 1인 양의 대각행렬군 ![{\displaystyle (\mathbb {R} ^{+})^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b32b98d54937943d2b7187e27b67e4a07c71ad) |
대각 성분이 모두 1인 복소 상삼각행렬군
|
콤팩트 반단순 리 군 ![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b) |
자명군 1 |
자명군 1
|
그람-슈미트 과정[편집]
일반선형군
의 이와사와 분해는 사실상 그람-슈미트 과정과 동치이다. 벡터 공간
의 기저
가 주어졌다고 하자. 그렇다면 행렬
![{\displaystyle B={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} (V)\cong \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273a7545c8c0a2d385b8fee607fb76b73623b169)
을 정의할 수 있다. 이 경우, 그람-슈미트 과정을 거치면, 이를
![{\displaystyle U^{-1}B=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c38b6cc379ba1d20b8af897501c3f21adf3757af)
의 꼴로 분해시키게 되는데, 여기서
는 그람-슈미트 과정을 통해 얻은 정규 직교 기저를 나타내는 직교행렬이며,
는 정규 직교 기저로의 변환을 나타내는 상삼각행렬이다. 이 경우,
를 추가로 분해하여
![{\displaystyle U_{0}^{-1}D^{-1}B=O}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a0b692abbd33a21b877a638f8f17199dd0d6f5a)
로 놓자. 여기서
은
를 직교 기저로 놓기 위한, 대각 성분이 모두 1인 상삼각행렬이고,
는 직교 기저를 정규 직교 기저로 만들기 위한, 양의 성분을 가진 대각행렬이다. 즉,
![{\displaystyle B=U_{0}DO}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bee603467a76c3499521516f781a89b0690490c)
가 되며, 이는
의 이와사와 분해이다.
상반평면의 이와사와 분해[편집]
리 군
의 이와사와 분해는 보형 형식의 이론에서 등장한다. 이 경우, 복소 상반평면
![{\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ^{+}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b4e7ad8e0b66b3f8bf73ab811b9bb3881c4aeaf)
은 다음과 같은 잉여류 공간으로 나타내어진다.
![{\displaystyle \mathbb {H} =\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e918d29570d973b2cb6a3820a8bb3f9b6e6b45f)
즉, 이는
의 이와사와 분해
에서 콤팩트 성분을 버린 것이다. 즉, 구체적인 대응 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle x+iy\mapsto \left({\scriptstyle {\begin{pmatrix}y^{1/2}&0\\0&y^{-1/2}\end{pmatrix}}},{\scriptstyle {\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66f6b93075a6733a04c8b6b7d072c7fbe439726)
이와사와 겐키치가 1949년에 도입하였다.[3]
외부 링크[편집]