리 군론에서 카르탕 대합(Cartan對合, 영어: Cartan involution)은 킬링 형식을 음의 정부호로 만드는 리 대수 대합이다.
실수 반단순 리 대수
가 주어졌으며, 그 킬링 형식
![{\displaystyle B\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a00bf923ba2ec5d8c8646b315c4e2d3ec8e7328)
![{\displaystyle B(x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a693bb9b63b7aed6b3ccd0f4db6ac89ae8220ff)
을 생각하자.
의 리 대수 자기 동형
![{\displaystyle \theta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e8d6ebfa1778f292cd30004c331dcf0fd3a350)
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 카르탕 대합이라고 한다.
- (대합 조건)
![{\displaystyle \theta \circ \theta =\operatorname {id} _{\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba227e4a1806c243481a6778b4f3f99b3f07834c)
는
위의 음의 정부호 이차 형식이다.
존재와 유일성[편집]
모든 실수 반단순 리 대수
는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합
,
에 대하여
![{\displaystyle \theta '=\theta \circ \operatorname {Ad} _{g}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a5cae7bde1172b19784da7a550f1906d2e0d51)
가 되는,
에 대응하는 단일 연결 리 군
의 원소
가 존재한다. 즉, 실수 반단순 리 대수에 대하여 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하게 존재한다.
카르탕 분해[편집]
표수가 2가 아닌 체
위의 리 대수
의 대합
![{\displaystyle \theta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e8d6ebfa1778f292cd30004c331dcf0fd3a350)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 고윳값은
이므로, 이에 대한 고유 공간
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578c1225c7847477ccbafa7548bb88f3b3778fc0)
![{\displaystyle \theta (k+p)=k-p\qquad (k\in {\mathfrak {k}},\;p\in {\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fdb20dc0d31def49fbe46899ca18f9d42aa654)
을 정의할 수 있다.
는 리 대수 자기 동형이므로,
![{\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae3befc4917fea83017528e91bef550b7535009)
![{\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c59d912891036f1f284150b478995fafaba919)
![{\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a778ce0d2f15f29fc714893dca94eae05967b6f9)
이다. 특히,
는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합
에 대한 카르탕 분해라고 한다.
만약
이며
가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다.
- 킬링 형식
는
에서 음의 정부호 이차 형식이며,
에서 양의 정부호이다.
와
는
에 대하여 서로 수직이다. 즉,
이다.
위의 카르탕 대합은
![{\displaystyle \theta \colon x\mapsto -x^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/694e4dc717aa04f4337270c66fde4965446edb2e)
이다. (여기서
은
정사각 행렬의 전치 행렬이다.) 이에 따른 카르탕 분해는
![{\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902b850730ac80855cc184b7588951b2d1f49a58)
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\{x\in {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )\colon x=x^{\top }\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c7d3da5f2c8ae32f4b33c5e57bf22d4675d4ad)
이다.
만약 실수 반단순 리 대수
의 킬링 형식이 음의 정부호라면 (즉, 콤팩트 리 군에 대응한다면), 카르탕 대합은 항등 함수이다. 이 경우 카르탕 분해는
이며
이다.
1880년대에 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다.
외부 링크[편집]