제한근

리 군론에서 제한근(制限根, 영어: restricted root)은 리 대수에서, 극대 부분 콤팩트 리 대수의 직교 여공간에 대한 고윳값들의 벡터이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$
• ${\mathfrak {g}}$의 카르탕 대합 $\theta$. 이에 대한 카르탕 분해를 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$라고 하자.
• ${\mathfrak {p}}$의 극대 아벨 부분 리 대수 ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$

그렇다면, 쌍대 공간 ${\mathfrak {a}}^{\vee }$의 원소

$\lambda \in {\mathfrak {a}}^{\vee }$

에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.

${\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon [a,x]=\lambda (a)x\qquad \forall a\in {\mathfrak {a}}\}$

물론

${\mathfrak {g}}_{0}=\bigcap _{a\in {\mathfrak {a}}}\ker \operatorname {ad} (a)$

이다.

만약 ${\mathfrak {g}}_{\lambda }\neq 0$이며 $\lambda \neq 0$이라면, $\lambda$를 $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})$의 제한근이라고 하며, ${\mathfrak {g}}_{\lambda }$를 그 제한근 공간(영어: restricted root space)이라고 한다. $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})$의 제한근들의 집합을 $\Sigma ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})$로 표기하자.

성질

실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 제한근은 다음 조건들을 만족시킨다.

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Sigma ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})}{\mathfrak {g}}_{\lambda }$

즉, 실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 그 제한근 공간들의 합으로 분해된다. 또한, 이 분해의 각 성분들은 킬링 형식에 대하여 서로 직교이다.

다음이 성립한다.

$[{\mathfrak {g}}_{\lambda },{\mathfrak {g}}_{\mu }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\lambda +\mu }\qquad (\lambda ,\mu \in \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}}))$^{:370, Proposition 6.40(b)}

$\theta {\mathfrak {g}}_{\lambda }={\mathfrak {g}}_{-\lambda }\qquad (\lambda ,\mu \in \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}}))$^{:370, Proposition 6.40(c)}

${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus \{k\in {\mathfrak {k}}\colon [{\mathfrak {a}},k]=0\}$^{:370, Proposition 6.40(d)}

이와사와 분해

 이 부분의 본문은 이와사와 분해입니다.

$\operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})$에서, 임의로 양근의 개념

$\operatorname {\Sigma } ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {\Sigma } ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})$

을 정의하자. 이제

${\mathfrak {n}}=\bigoplus _{\lambda \in \operatorname {\Sigma } ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {a}})}{\mathfrak {g}}_{\lambda }$

를 정의하면,

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}$

은 ${\mathfrak {g}}$의 이와사와 분해이다.

외부 링크

• “Relative root system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.