위상 K이론

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, 영어: topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

정의

벡터 다발을 통한 정의

0차 K군

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$
• 기호 $G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}$. 이에 대하여,
  • $\operatorname {O}$-벡터 다발은 $X$ 위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
  • $\operatorname {U}$-벡터 다발은 $X$ 위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
  • $\operatorname {Sp}$-벡터 다발은 $X$ 위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약 $2n$차원이라면) $\operatorname {Sp} (2n;\mathbb {R} )$--주다발의 연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)

그렇다면, $X$ 위의 $G$-벡터 다발

$E\twoheadrightarrow X$

들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, $G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}$인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

$X$의 $G$에 대한 K군(K-group) $\mathrm {K} G^{0}(X)$는 $X$ 위의 $G$-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 $G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} \}$라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약 $G$를 생략하였다면, $G=\operatorname {U}$를 뜻한다.

축소 K군

$(X,x_{0})$가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, 영어: reduced K-group) $\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})$는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

$\phi \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})$

그렇다면

$\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X,x_{0})=\ker \phi =\operatorname {K} ^{0}(X)/\operatorname {K} ^{0}(\{x_{0}\})$

이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

$\dim \colon \operatorname {K} ^{0}(X)\to \operatorname {\check {H}} ^{0}(X,\mathbb {Z} )$

여기서 ${\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )$는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 $X$가 연결 공간이라면 ${\check {H}}^{0}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$이다. 이 경우 $\dim \colon K^{0}(X)\to \mathbb {Z}$이며, 벡터 공간 $K_{n}^{0}(X)=\dim ^{-1}(n)$은 $n$차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

상대 K군(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. $A\subseteq X$가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$의 $A$에 대한 상대 K군 $\operatorname {K} ^{0}(X,A)$는 다음과 같다.

$\operatorname {K} ^{0}(X,A)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X/A)$

여기서 $X/A$의 점은 물론 $A/A\in X/A$이다.

$X$가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(영어: K-group with compact support) $\operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 $X^{+}$의 축소 K군이다.

$\operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})$

물론, 만약 $X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

$\operatorname {K} _{\text{c}}^{0}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X^{+})=\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X\sqcup \{\bullet \})=\operatorname {K} ^{0}(X)$

이다.

고차 K군

−n차 축소 K군 $\operatorname {K} ^{-n}(X)$는 다음과 같다.

$\operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} (\mathbb {S} ^{n}\wedge X)$

여기서 $\wedge$는 위상 공간의 분쇄곱이고, $\mathbb {S} ^{n}$은 $n$차원 초구다. 여기서 $S^{0}\wedge X\cong X$이므로, $\operatorname {\tilde {K}} ^{0}(X)$의 정의는 일관적이다. 또한 $\mathbb {S} ^{m}\wedge \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{m+n}$이므로, ${\tilde {K}}^{-m-n}(X)={\tilde {K}}^{-m}(S^{n}\wedge X)$이다.

−n차 (비축소) K군 $\operatorname {K} ^{-n}(X)$는 그 알렉산드로프 콤팩트화 $X^{+}=X\sqcup \{\infty \}$의 축소 K군이다.

$\operatorname {K} ^{-n}(X)=\operatorname {\tilde {K}} ^{-n}(X^{+})$

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.

• $\operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n-2}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}U} ^{-n}(X)$
• $\operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n-8}(X)=\operatorname {{\tilde {K}}O} ^{-n}(X)$.

이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 $K^{1}$, $K^{2}$ 등을 정의할 수 있다.

안정 벡터 다발을 통한 정의

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. $X$ 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 $E$, $F$ 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

$E\sim F\iff \exists n\in \mathbb {N} \colon E\oplus \mathbb {C} ^{n}\cong F\oplus \mathbb {C} ^{n}$

여기서 $\mathbb {C} ^{n}$은 $n$차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 $\cong$은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 $X$의 0차 축소 K군 $\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(X)$이라고 한다.

분류 공간을 통한 정의

기호 $G\in \{\operatorname {O} ,\operatorname {U} ,\operatorname {Sp} \}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

$G(0)\hookrightarrow G(1)\hookrightarrow \dotsb$

에 대한 분류 공간의 포함 관계

$\mathrm {B} G(0)\to \mathrm {B} G(1)\to \mathrm {B} G(2)\to \dotsb$

가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 $X$ 위의 $G(n)$-벡터 다발 $E\twoheadrightarrow X$가 주어졌을 때, $\operatorname {G} (n+1)$-벡터 다발 $E\oplus \mathbb {K}$를 취하는 것이다 ($\mathbb {K}$는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

$\varinjlim \mathrm {B} G(\infty )$

를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 $\operatorname {O} (n)$의 분류 공간 $\operatorname {BO} (n)$은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 $n$차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 $\operatorname {U} (n)$의 분류 공간 $\operatorname {BU} (n)$은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 $n$차원 부분 공간들의 공간이다.

$X$가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, $X$의 K군은 다음과 같다.

$\mathrm {K} G(X)=[X,\mathbb {Z} \times \mathrm {B} G(\infty )]$

여기서 $[X,Y]$는 $X\to Y$ 호모토피류들의 집합이다.

만약, $X$가 $n$차원 연결 공간이고 $k>n/2$일 때,

$\operatorname {\widetilde {KO}} (X)\cong [X,\operatorname {BO} (k)]$

$\operatorname {\widetilde {KU}} (X)\cong [X,\operatorname {BU} (k)]$

이 성립한다.

성질

함자성

${\mathcal {C}}$가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

$\operatorname {KO} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }$

$\operatorname {KU} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }$

$\operatorname {KSp} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }$

여기서

• $\operatorname {ho} ({\mathcal {C}})$는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
• $\operatorname {CRing}$은 가환환의 범주이다.
• $\operatorname {Ab}$은 가환군의 범주이다.
• $(-)^{\operatorname {op} }$은 반대 범주이다.

즉, 연속 함수 $X\to Y$가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 $K(Y)\to K(X)$가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

$\operatorname {\widetilde {KO}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }$

$\operatorname {\widetilde {KU}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }$

$\operatorname {\widetilde {KSp}} \colon \operatorname {ho} ({\mathcal {C}}/\bullet )\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }$

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

보트 주기성

다음이 성립한다.

$\operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet +2}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KU}} ^{\bullet }(X)$

$\operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KO}} ^{\bullet }(X)$

$\operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet +8}(X)\cong \operatorname {\widetilde {KSp}} ^{\bullet }(X)$

분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

$\Omega ^{8}\mathrm {BO} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BO} (\infty )$

$\Omega ^{2}\mathrm {BU} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BU} (\infty )$

$\Omega ^{8}\mathrm {Sp} (\infty )\simeq \mathbb {Z} \times \mathrm {BSp} (\infty )$

코호몰로지

위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 $H^{n}(\{\bullet \})=0\forall n>0$이어야 하지만, K이론에서는 $\operatorname {KU} ^{2n}(\{\bullet \})=\mathbb {Z}$이다.)

천 지표

천 지표 $\operatorname {ch} \colon \operatorname {Vect} (X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X)$는 $X$ 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 $\operatorname {Vect} (X)$로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{0}(X)\oplus \operatorname {H} ^{2}(X)\oplus \dotsb \subset \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )$로 가는 모노이드 준동형이다.^{:40–45:100–102} 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 $\operatorname {ch} \colon K^{0}(X)\to H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )$로 확장된다. 즉, $[E],[F]\in K^{0}(X)$라고 하면,

$\operatorname {ch} ([E]\oplus [F])=\operatorname {ch} ([E])+\operatorname {ch} ([F])$

$\operatorname {ch} ([E]\otimes [F])=\operatorname {ch} ([E])\smile \operatorname {ch} ([F])$

$\operatorname {ch} (-[E])=-\operatorname {ch} ([E])$

$\operatorname {ch} ([\mathbb {C} ^{\oplus k}])=k$

이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 $\operatorname {ch} \colon {\tilde {K}}^{0}(X)\to {\tilde {H}}^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )$ 또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.^:102

$\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(X)=\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X)$

$\operatorname {\tilde {H}} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )\cong \operatorname {H} ^{2k+1}(\mathbb {S} ^{1}\wedge X;\mathbb {Q} )$

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

$\operatorname {K} ^{\bullet }(X)\to \operatorname {H} ^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )$

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 $K^{\bullet }(X)\otimes \mathbb {Q}$와 $H^{\bullet }(X;\mathbb {Q} )$ 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.^:7

$\operatorname {KU} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k}(X;\mathbb {Q} )$

$\operatorname {KU} ^{1}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{2k+1}(X;\mathbb {Q} )$

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.^:7

$\operatorname {KO} ^{0}(X)\otimes \mathbb {Q} =\bigoplus _{k}\operatorname {H} ^{4k}(X;\mathbb {Q} )$

예

축약 가능 공간

하나의 점을 포함하는 공간 $\{\bullet \}$의 K군들은 다음과 같다.

$K^{0}(\{\bullet \})=\mathbb {Z}$

${\tilde {K}}^{0}(\{\bullet \})=0$

$K^{1}(\{\bullet \})={\tilde {K}}^{1}(\{\bullet \})=0$

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 $\{\bullet \}$의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

$K^{0}(X)\cong {\tilde {K}}^{0}(X)\oplus \mathbb {Z}$

$K^{1}(X)\cong {\tilde {K}}^{1}(X)$

임을 알 수 있다.

초구

초구 $S^{n}$의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.^:39

$\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\mathbb {Z} ^{2}$

$\operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=0$

$\operatorname {KU} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z}$

$\operatorname {KU} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z}$

초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.

$\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n+1})=\mathbb {Z}$

$\operatorname {\widetilde {KU}} ^{1}(\mathbb {S} ^{2n})=\operatorname {\widetilde {KU}} ^{0}(\mathbb {S} ^{2n+1})=0$

초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.^:§3.1

$\operatorname {\widetilde {KO}} ^{m}(\mathbb {S} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &n-m\equiv 0,4{\pmod {8}}\\\mathbb {Z} /(2)&n-m\equiv 1,2{\pmod {8}}\\0&n-m\equiv 3,5,6,7{\pmod {8}}\end{cases}}$

기타 공간

복소수 사영 공간 $\mathbb {CP} ^{n}$의 K군들은 다음과 같다.

$K^{0}(\mathbb {CP} ^{n})=\mathbb {Z} ^{n+1}$

$K^{1}(\mathbb {CP} ^{n})=0$

원환면 $\mathbb {T} ^{n}$의 K군들은 다음과 같다.

$K^{0}(\mathbb {T} ^{n})=\mathbb {Z} ^{2^{n-1}}$

$K^{1}(\mathbb {T} ^{n})=\mathbb {Z} ^{2^{n-1}}$

역사

마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.

참고 문헌

• Cortiñas, Guillermo (2011). 〈Algebraic v. topological K-theory: a friendly match〉. 《Topics in algebraic and topological K-theory》 (영어). Springer Lecture Notes in Mathematics 2008. Berlin: Springer. 103–165쪽. arXiv:0903.3983. Bibcode:2009arXiv0903.3983C. doi:10.1007/978-3-642-15708-0_3. ISBN 978-3-642-15707-3. MR 2762555. Zbl 1216.19002.