원환 다양체

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대수기하학에서, 원환 다양체(圓環多樣體, 영어: toric variety)는 대수적 원환면 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.

정의[편집]

편의상 복소수를 생각하자. 원환 다양체 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 복소수 대수다양체
  • 군의 작용 (는 0이 아닌 복소수들의 곱셈군)

이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • 열린 조밀 부분집합 이 존재하여, 위상동형이고, 에 대한 군 작용이 이 위상동형사상 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

복소수체가 아닌 다른 체에 대하여서도 마찬가지로 정의할 수 있다.

부채[편집]

많은 경우, 원환 다양체는 부채(fan)라는 데이터로 표현할 수 있다.

강하게 볼록한 유리 다면뿔(strongly convex rational polyhedral cone) 은 다음 성질을 만족하는 부분집합이다.

  • (강하게 볼록함)
  • (곱셈에 대한 닫힘) 이고 라면
  • (덧셈에 대한 닫힘) 라면 .

모든 강하게 볼록한 유리 다면뿔들은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.

.

다면뿔 (face)들은 다음과 같은 꼴의 부분집합들이다.

  • 이 1차형식이고, 이라면 .

부채 는 다음 성질을 만족하는 강하게 볼록한 유리 다면뿔들의 집합이다.

  • (면에 대한 닫힘) 이고 의 면 가운데 하나라면, .
  • (교집합에 대한 닫힘) 라면, 의 면 가운데 하나이고, 또한 의 면 가운데 하나이다. (은 모든 다면뿔들의 면이다.)

(강하게 볼록한 유리) 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 의 격자점 들은 덧셈에 대하여 유한생성 모노이드를 이룬다. (여기서 는 다면뿔 의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 쌍대뿔(dual cone) 또한 유한생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.

다면뿔 에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.

부채 에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 붙여이어 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 부분집합을 서로 이어붙인다.

다면체에 대응하는 원환 다양체[편집]

꼭짓점이 격자점 인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 차원 면이 공유하는 차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.

원환 다양체가 사영 대수다양체필요충분조건은 원환 다양체를 이와 같이 다면체로부터 정의할 수 있는지 여부다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]