원환 다양체

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대수기하학에서, 원환 다양체(圓環多樣體, 영어: toric variety)는 대수적 원환면 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.[1][2][3][4][5][6]

정의[편집]

가 주어졌다고 하자. 위의 원환 다양체 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • -대수다양체
  • 군의 작용 (가역원군)

이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

  • 자리스키 조밀 열린집합 이 존재하여, 과 (-대수다양체로서) 동형이며, 에 대한 군 작용이 이 위상 동형 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

부채[편집]

많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채(영어: fan [*])라는 데이터로 표현될 수 있다.

강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, 영어: strongly convex rational polyhedral cone) 은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.

  • (강볼록 조건)
  • (스칼라곱에 대한 닫힘) 이고 라면
  • (덧셈에 대한 닫힘) 는 덧셈 모노이드이다. 즉, 라면 이다.
  • (유리 벡터에 의한 생성) 가 되는 유한 집합 이 존재한다.

다면뿔 (영어: face)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.

  • 실수 선형 변환이고, 이라면, .

부채 는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.

  • (면에 대한 닫힘) 이고 의 면 가운데 하나라면, .
  • (교집합에 대한 닫힘) 라면, 의 면 가운데 하나이고, 또한 의 면 가운데 하나이다. (은 모든 다면뿔들의 면이다.)

강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 의 격자점 들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 는 다면뿔 의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 쌍대뿔 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.

다면뿔 에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.

부채 에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.

다면체에 대응하는 원환 다양체[편집]

꼭짓점이 격자점 인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 차원 면이 공유하는 차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.

연산[편집]

두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.

원환 다양체의 특이점 해소(영어: resolution of singularities) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.

성질[편집]

속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[4]:Theorem 9.1(1)[7]:§4.2

  • 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다.
  • 이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 전체이다.

속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[4]:Theorem 9.1(2)

  • 에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다.
  • 모든 뿔 에 대하여, 은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다.

속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[4]:Theorem 9.1(2)

속의 부채 로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[7]:§4.3

  • 에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다).
  • 에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 이 모두 하나의 차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉, 실수 선형 변환 가 존재한다.

특히, 만약 이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.[7]:§4.3

[편집]

편의상 유클리드 공간 의 표준 기저를 으로 표기하자.

원환면[편집]

은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 부채에 대응된다.

쌍대뿔이며, 이는

에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는

이다.

아핀 공간[편집]

다음과 같은, 하나의 뿔만으로 생성되는 부채를 생각하자.[4]:Example 5.1

즉, 이는 의 “2n분면”이다.

이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저

에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 차원 복소수 아핀 공간

이다.

예를 들어, 아핀 평면 는 다음과 같은 부채에 대응된다.

사영 공간[편집]

다음과 같은 속의 부채를 생각하자.[4]:Example 8.3

즉, 그 뿔들은 다음과 같다.

이 경우, 의 쌍대뿔은 자신이며, 그 모노이드 대수

이다. 마찬가지로 의 경우

이다. 또한, 모노이드 대수

이다. 환 준동형

에 대응하는 자리스키 열린집합아핀 공간 의 부분 집합 이다. 따라서, 이는 를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 공간 을 정의한다.

보다 일반적으로, 의 표준 기저 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

을 정의하고, 다음과 같은 개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.[4]:Example 8.4

즉, 이 부채는 개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다.

이 경우, 각 아핀 공간 에 대응되며, 이들을 붙이면 복소수 사영 공간 을 얻는다.

예를 들어, 사영 평면 는 다음과 같은 부채에 대응된다.

이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.

U+25F9.svg

코니폴드[편집]

코니폴드는 다음과 같은 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.[7]:§4.1, (54)

이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다.

오비폴드[편집]

다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 를 나타낸다.[7]:Figure 2(a) (2차 순환군 와 같이 작용한다.)

이 2차원 뿔 는 스스로의 쌍대뿔이며, 에 의하여 생성된다.

이므로, 이는 아핀 대수다양체

를 정의한다.

오비폴드

위의 다항 함수들은 세 불변량

에 의하여 생성되며, 이들은

를 만족시킨다. 따라서 이는 위의 아핀 대수다양체와 같다.

델 페초 곡면[편집]

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 을 나타낸다.[7]:Figure 2(b)

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 을 나타낸다.[7]:Figure 2(b)

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 을 나타낸다.

응용[편집]

원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다.[8][7] 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. Oda, Tadao (1988). 《Convex bodies and algebraic geometry: an introduction to the theory of toric varieties》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 15. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-72549-4. MR 922894. 
  2. Cox, David A.; Little, John B.; Schenck, Henry K. (2011). 《Toric varieties》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 124. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4819-7. MR 2810322. Zbl 1223.14001. 
  3. Fulton, William (1993). 《Introduction to toric varieties》. Annals of Mathematics Studies (영어) 131. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00049-7. MR 1234037. 
  4. Cox, David A. (2003). 〈What is a toric variety?〉 (PDF). 《Topics in algebraic geometry and geometric modeling: Proceedings of the workshop on algebraic geometry and geometric modeling, July 29 – August 2, 2002, Vilnius, Lithuania》. Contemporary Mathematics (영어) 334. American Mathematical Society. 203–223쪽. ISBN 0-8218-3420-7. MR 2039974. Zbl 1038.14021. 
  5. Danilov, V. I. (1978). “The geometry of toric varieties” (PDF). 《Russian Mathematical Surveys》 (영어) 33 (2): 97–134. ISSN 0036-0279. MR 495499. Zbl 0425.14013. doi:10.1070/RM1978v033n02ABEH002305. 
  6. Miller, Ezra (2008년 5월). “What is … a toric variety?” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 55 (5): 586–587. ISSN 0002-9920. MR 2404030. 
  7. Closset, Cyril (2009). “Toric geometry and local Calabi-Yau varieties: An introduction to toric geometry (for physicists)” (영어). Bibcode:2009arXiv0901.3695C. arXiv:0901.3695. 
  8. Reffert, Susanne (2007). “The geometer’s toolkit to string compactifications” (영어). Bibcode:2007arXiv0706.1310R. arXiv:0706.1310. 

외부 링크[편집]