원환 다양체

대수기하학에서 원환 다양체(圓環多樣體, 영어: toric variety)는 대수적 원환면 $(K^{\times })^{n}$을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.

정의

체 $K$가 주어졌다고 하자. $K$ 위의 원환 다양체 $(M,\phi )$는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

• $K$-대수다양체 $M$
• 군의 작용 $\phi \colon (K^{\times })^{n}\to \operatorname {Aut} (M)$ ($K^{\times }$는 $K$의 가역원군)

이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.

• 자리스키 조밀 열린집합 $T\subseteq M$이 존재하여, $T$가 $(K^{\times })^{n}$과 ($K$-대수다양체로서) 동형이며, $T$에 대한 군 작용이 이 위상 동형 아래 복소수의 곱셈이어야 한다.

부채

많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채(영어: fan 팬^[*])라는 데이터로 표현될 수 있다.

강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, 영어: strongly convex rational polyhedral cone) $\sigma \subseteq \mathbb {Q} ^{n}$은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.

• (강볼록 조건) $\sigma \cap -\sigma =\{0\}$
• (스칼라곱에 대한 닫힘) $r\in [0,\infty )$이고 $v\in \sigma$라면 $rv\in \sigma$
• (덧셈에 대한 닫힘) $\sigma$는 덧셈 모노이드이다. 즉, $u,v\in \sigma$라면 $u+v\in \sigma$이다.
• (유리 벡터에 의한 생성) $\sigma =\operatorname {Span} _{[0,\infty )}B$가 되는 유한 집합 $B\subseteq \mathbb {Z} ^{n}$이 존재한다.

다면뿔 $\sigma$의 면(영어: face)들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.

• $\phi \colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q}$가 실수 선형 변환이고, $\phi \upharpoonright \sigma \geq 0$이라면, $\sigma \cap (\ker \phi )$.

부채 $\Sigma$는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.

• (면에 대한 닫힘) $\sigma \in \Sigma$이고 $\sigma '$가 $\sigma$의 면 가운데 하나라면, $\sigma '\in \Sigma$.
• (교집합에 대한 닫힘) $\sigma ,\sigma '\in \Sigma$라면, $\sigma \cap \sigma '$는 $\sigma$의 면 가운데 하나이고, 또한 $\sigma '$의 면 가운데 하나이다. ($\{0\}$은 모든 다면뿔들의 면이다.)

강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 $\sigma$의 격자점 $\sigma \cap \mathbb {Z} ^{k}$들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 $k$는 다면뿔 $\sigma$의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 $\sigma$의 쌍대뿔 $\sigma ^{\vee }=\{v\colon \langle u,v\rangle \geq 0\forall u\in \sigma \}\subset K^{n}$ 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 $\{\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{\alpha },\dots ,\mathbf {v} _{k}\}\subset K^{n}$를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.

$\phi \colon (K^{*})^{n}\to K^{k}$

$\phi \colon (\exp(iz_{1}),\dots ,\exp(iz_{i}),\dots ,\exp(iz_{n}))\mapsto \left(\exp(i\sum _{j}z_{n}v_{1}^{(j)}),\dots ,\exp(i\sum _{j}z_{j}v_{\alpha }^{(j)}),\dots ,\exp(i\sum _{j}z_{j}v_{k}^{(j)})\right)$

다면뿔 $\sigma$에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 $\phi$의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.

부채 $\Sigma$에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.

다면체에 대응하는 원환 다양체

꼭짓점이 격자점 $\mathbb {Z} ^{n}$인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 $(n-1)$차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 $(n-1)$차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 $(n-1)$차원 면이 공유하는 $(n-2)$차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.

즉, 다면체 $P$에 대응되는 원환 다양체 $X$에 대하여, 표준적인 전사 함수

$X\twoheadrightarrow P$

가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 $x\in P$에 대응되는 올은 (만약 $x$가 $k$차원 면에 속한다면) $(K^{\times })^{k}$의 꼴이다. $P$의 (유일한) 내부는 $X$의 자리스키 조밀 열린집합 $(K^{\times })^{\dim X}$에 해당하며, 따라서 $P\subseteq \mathbb {Q} ^{\dim X}$이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.

연산

두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.

원환 다양체의 특이점 해소(영어: resolution of singularities) 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.

성질

$\mathbb {Q} ^{n}$ 속의 부채 $\Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Theorem 9.1(1):§4.2}

• $\Sigma$에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 콤팩트 공간이다.
• $\textstyle \mathbb {Q} ^{n}=\bigcup \Sigma$이다. 즉, 부채에 속하는 뿔들의 합집합은 $\mathbb {Q} ^{n}$ 전체이다.

$\mathbb {Q} ^{n}$ 속의 부채 $\Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Theorem 9.1(2)}

• $\Sigma$에 대응하는 원환 다양체에 복소수 위상을 부여했을 때, 매끄러운 다양체이다.
• 모든 뿔 $\sigma$에 대하여, $\sigma \cap \mathbb {Z} ^{n}$은 유한 생성 자유 가환 모노이드이다.

$\mathbb {Q} ^{n}$ 속의 부채 $\Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Theorem 9.1(2)}

• $\Sigma$에 대응되는 원환 다양체는 사영 대수다양체이다.
• $\Sigma$는 $\mathbb {Z} ^{n}$의 유한 부분 집합의 볼록 껍질에 대응되는 부채이다.

$\mathbb {Q} ^{n}$ 속의 부채 $\Sigma$로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:§4.3

• $\Sigma$에 대응되는 원환 다양체는 칼라비-야우 다양체이다 (즉, 표준 인자가 0이다).
• $\Sigma$에 속하는 모든 1차원 뿔들을 생성하는 정수 계수 벡터들 $(v_{i})_{i\in I}$이 모두 하나의 $n-1$차원 초평면 위에 존재하게 잡을 수 있다. 즉, $\phi (v_{i})=1\,\forall i\in I$인 실수 선형 변환 $\phi \colon \mathbb {Q} ^{n}\to \mathbb {Q}$가 존재한다.

특히, 만약 $n\geq 1$이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.^:§4.3

예

편의상 유클리드 공간 $\mathbb {Q} ^{n}$의 표준 기저를 $(\mathrm {e} _{i})_{i=1,\dotsc ,n}$으로 표기하자. 여기서 $K$는 임의의 체이다.

원환면

$(K^{\times })^{n}$은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다.

$\Sigma =\{\sigma _{0}\}$

$\sigma _{0}=\{0\}\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$

$\sigma _{0}$의 쌍대뿔은 $\sigma _{0}^{\vee }=\mathbb {Q} ^{n}$이며, 이는

$\{\pm \mathrm {e} _{1},\dotsc ,\pm \mathrm {e} _{n}\}$

에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는

$\operatorname {Spec} K[\sigma _{0}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{n}]=\operatorname {Spec} K[t_{1},t_{1}^{-1},t_{2},t_{2}^{-1},\dotsc ,t_{n},t_{n}^{-1}]$

이다.

아핀 공간

 이 부분의 본문은 아핀 공간입니다.

다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.^{:Example 5.1}

$\sigma =[0,\infty )\times \dotsb \times [0,\infty )\subseteq \mathbb {Q} ^{n}$

즉, 이는 $\mathbb {Q} ^{n}$의 “2ⁿ분면”이다.

이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저

$(\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{2},\dotsc ,\mathrm {e} _{n})$

에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 $n$차원 아핀 공간

$\operatorname {Spec} K[\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{n}]=\operatorname {Spec} K[t_{1},\dotsc ,t_{n}]$

이다.

예를 들어, 아핀 평면 $\mathbb {A} _{K}^{2}$는 다음과 같은 부채에 대응된다.

${\begin{matrix}\uparrow \\\bullet &\rightarrow \end{matrix}}$

사영 공간

 이 부분의 본문은 사영 공간입니다.

모든 사영 공간은 원환 다양체이며, $n$차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 $n$차원 단체이다. 구체적으로, $\mathbb {Q} ^{n}$의 표준 기저 $(e_{1},\dotsc ,e_{n})$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$\mathrm {e} _{0}=-(\mathrm {e} _{1}+\dotsb +\mathrm {e} _{n})$

을 정의하고, 다음과 같은 $n+1$개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.^{:Example 8.4}

$\sigma _{i}=\operatorname {Span} _{K}\left(\{\mathrm {e} _{0},\mathrm {e} _{1},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}\}\setminus \{\mathrm {e} _{i}\}\right)$

즉, 이 부채는 $\{\mathrm {e} _{0},\mathrm {e} _{1},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}\}$의 $2^{n+1}-1$개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 $n$차원의 뿔들은 $n+1$개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 $n+1$의 아핀 열린 덮개에 해당한다. 구체적으로, $n$차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다.

• $\sigma _{0}^{\vee }$는 $\{\mathrm {e} _{1},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}\}$으로 생성된다.
  • 이에 대응되는 모노이드 대수는 $K[x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}]$이다.
• $i\in \{1,\dotsc ,n\}$에 대하여, $\sigma _{i}^{\vee }$는 $\{\mathrm {e} _{1}-\mathrm {e} _{i},\dotsc ,{\widehat {\mathrm {e} _{i}-\mathrm {e} _{i}}},\dotsc ,\mathrm {e} _{n}-\mathrm {e} _{i},-\mathrm {e} _{i}\}$로 생성된다. (${\hat {\color {White}e}}$은 이 항만을 생략하라는 뜻이다.)
  • 이에 대응되는 모노이드 대수는 $K[x_{1}x_{i}^{-1},x_{2}x_{i}^{-1},\dotsc ,{\widehat {x_{i}x_{i}^{-1}}},\dotsc ,x_{n}x_{i}^{-1},x_{i}^{-1}]$이다.

즉, 사영 공간의 동차 좌표를

$[y_{0}:y_{1}:\dotsb :y_{n}]$

이라고 한다면, 이는

$(x_{1},\dotsc ,x_{n})\mapsto [1:x_{1}:\dotsb :x_{n}]$

$x_{i}=y_{i}/y_{0}$

에 해당한다. 각 $\sigma _{i}$는 아핀 공간 $\mathbb {A} _{K}^{n}$에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}$을 얻는다.

사영 직선

다음과 같은 $\mathbb {Q} ^{1}$ 속의 부채를 생각하자.^{:Example 8.3}

$\leftarrow \bullet \rightarrow$

즉, 그 뿔들은 다음과 같다.

$\sigma _{1}=[0,\infty )\subsetneq \mathbb {Q}$

$\sigma _{2}=(-\infty ,0]\subsetneq \mathbb {Q}$

$\sigma _{0}=C_{1}\cap C_{2}=\{0\}\subsetneq \mathbb {Q}$

이 경우, $\sigma _{1}$의 쌍대뿔은 $\sigma _{1}^{\vee }=\sigma _{1}=[0,\infty )$ 자신이며, 그 모노이드 대수는

$K[\sigma _{1}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t]$

이다. 마찬가지로 $\sigma _{2}=\sigma _{2}^{\vee }$의 경우

$K[\sigma _{2}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t^{-1}]$

이다. 또한, $\sigma _{0}^{\vee }=\mathbb {Q}$의 모노이드 대수는 로랑 다항식환

$K[\sigma _{0}^{\vee }\cap \mathbb {Z} ]=K[t,t^{-1}]$

이다. 환 준동형

$K[t]\to K[t,t^{-1}]$

에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 $\mathbb {A} _{K}^{1}$의 부분 집합 $\{z\in K\colon z\neq 0\}$ 이다. 따라서, 이는 $K[t]$와 $K[t^{-1}]$를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 직선 $\mathbb {P} _{K}^{1}$을 정의한다.

사영 평면

예를 들어, 사영 평면 $\mathbb {P} _{K}^{2}$는 다음과 같은 부채에 대응된다.

${\begin{matrix}&\uparrow \\&\bullet &\rightarrow \\\swarrow \end{matrix}}$

이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.

부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개

구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 열린집합으로 덮여진다. 이 뿔은 (x축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다.

• 뿔 1: 이는 (1,0)과 (0,1)로 생성되며, 스스로의 쌍대뿔이다. 따라서, 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[x,y]$에 해당한다.
  • 뿔 1과 뿔 2 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (−1,0), (0,1)로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[x,x^{-1},y]=\operatorname {Spec} K[x,y]_{x}=\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}}$에 해당한다.
• 뿔 2: 이 뿔의 쌍대뿔은 (1,−1)과 (−1,0)으로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]$에 해당한다.
  • 뿔 2와 뿔 3 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (−1,0), (1,−1), (−1,1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[x^{-1},xy^{-1},x^{-1}y]=\operatorname {Spec} K[x^{-1},x^{-1}y]_{x^{-1}y}=\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]_{xy^{-1}}$에 해당한다.
• 뿔 3: 이 뿔의 쌍대뿔은 (0,−1)과 (1,−1)로 생성된다. 따라서, 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]$에 해당한다.
  • 뿔 3과 뿔 1 사이의 1차원 뿔의 쌍대뿔은 (1,0), (0,1), (0,−1)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[x,y,y^{-1}]=\operatorname {Spec} K[y^{-1},xy^{-1}]_{y^{-1}}=\operatorname {Spec} K[x,y]_{y}$에 해당한다.
    • 뿔 1〜3 사이의 0차원 뿔의 쌍대뿔은 (0,1), (0,−1), (1,0), (−1,0)으로 생성된다. 따라서 이는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} K[x,x^{-1},y,y^{-1}]$에 해당한다.

여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 모노이드에 대한 국소화이다. 이는 아핀 스킴 사이의 열린 몰입을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다.

코니폴드

 이 부분의 본문은 코니폴드입니다.

코니폴드는 다음과 같은 $\mathbb {Q} ^{3}$ 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.^{:§4.1, (54)}

$\sigma =\operatorname {Span} _{[0,\infty )}\left\{\mathrm {e} _{1},\mathrm {e} _{1}+\mathrm {e} _{2},\mathrm {e} _{1}+\mathrm {e} _{3},\mathrm {e} _{1}+\mathrm {e} _{2}+\mathrm {e} _{3}\right\}$

이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 $\{v\in \mathbb {Q} ^{3}\colon \langle \mathrm {e} _{1},v\rangle =1\}$ 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다.

이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은

$\sigma ^{\vee }=\{(a,b,c)\in \mathbb {Q} ^{3}\colon \min\{a,a+b,a+c,a+b+c\}\geq 0\}$

이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은

(1,−1,0), (1,0,−1), (0,0,1), (0,1,0)

이다. 이들 사이의 유일한 관계는

(1,−1,0) + (0,1,0) = (1,0,−1) + (0,0,1)

이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은

$K[x,y,z,w]/(xy-zw)$

이다.^{:§2.1, (15)} $K$의 표수가 2가 아니라면,

$X=(x/2+y/2)$

$Y=(x/2-y/2)$

$Z=(z/2+w/2)$

$W=(z/2-w/2)$

를 정의하여, 이를

$K[X,Y,Z,W]/(X^{2}-Y^{2}-Z^{2}+W^{2})$

로 적을 수 있다.

오비폴드

다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 $K^{2}/\operatorname {Cyc} (2)$를 나타낸다.^{:Figure 2(a)} (2차 순환군 $\operatorname {Cyc} (2)$은 $(u,v)\mapsto (-u,-v)$와 같이 작용한다.)

${\begin{matrix}&\nearrow \\\bullet \\&\searrow \end{matrix}}$

이 2차원 뿔 $\sigma =\sigma ^{\vee }$는 스스로의 쌍대뿔이며, $(1,1)$과 $(1,-1)$과 $(1,0)$에 의하여 생성된다.

$(1,1)+(1,-1)=2\cdot (1,0)$

이므로, 이는 아핀 대수다양체

$K[x,y,z]/(xy-z^{2})$

를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.

사실, 아핀 공간 $\mathbb {A} _{K}^{2}=\operatorname {Spec} K[u,v]$ 위에 2차 순환군의 작용

$(u,v)\mapsto (-u,-v)$

의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다.

$\mathbb {A} _{K}^{2}/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} (K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)})$

여기서 $K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)}$는 $\operatorname {Cyc} (2)$의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는

$u^{2},v^{2},uv$

로 생성되며, 이 사이의 관계는

$u^{2}\cdot v^{2}=(uv)^{2}$

밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상

$\operatorname {Spec} (K[u,v]^{\operatorname {Cyc} (2)})\cong \operatorname {Spec} {\frac {K[x,y,z]}{(xy-z^{2})}}$

$(u,v)\mapsto (u^{2},v^{2},uv)$

을 갖는다.

델 페초 곡면

 이 부분의 본문은 델 페초 곡면입니다.

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\operatorname {dP} _{1}$을 나타낸다.^{:Figure 2(b)}

${\begin{matrix}&\uparrow \\&\bullet &\rightarrow \\\swarrow &\downarrow \end{matrix}}$

구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다.

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\operatorname {dP} _{2}$을 나타낸다.^{:Figure 2(b)}

${\begin{matrix}&\uparrow \\\leftarrow &\bullet &\rightarrow \\\swarrow &\downarrow \end{matrix}}$

다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$을 나타낸다.

${\begin{matrix}&\uparrow \\\leftarrow &\bullet &\rightarrow \\&\downarrow \end{matrix}}$

이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.

응용

원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다. 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Toric variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Toric variety”. 《nLab》 (영어). 
• “Noncommutative toric variety”. 《nLab》 (영어).