조밀 집합

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일반위상수학에서, 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 "조밀하게" 채우는 부분 집합이다.

정의[편집]

위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.

  • 임의의 열린 집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
  • 임의의 닫힌 집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
  • . 여기서 폐포이다.
  • . 여기서 내부이다.
  • 모든 의 모든 근방 에 대하여, .
  • 의 모든 점들은 의 원소이거나 극한점이다.

성질[편집]

위상 공간 는 스스로의 조밀 집합이다. 만약 이산 공간이라면, 조밀 집합은 전체밖에 없다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 이며, 의 조밀 집합이고 의 조밀 집합이라면 의 조밀 집합이다.

[편집]

  • 유리수의 집합 는 실수의 집합 안의 조밀 집합이다.
  • 반면, 자연수의 집합 , 정수의 집합 의 조밀 집합이 아니다.
  • [a,b) ∪ (b,c] 는 [a,c]안의 조밀 집합이다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]