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쌍대뿔

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(푸른 부분)의 쌍대뿔은 (붉은 부분)이다.

기하학에서, 쌍대뿔(雙對뿔, 영어: dual cone)은 주어진 벡터 집합의 모든 원소와의 내적이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 부분 집합이다.

정의

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실수 내적 공간 가 주어졌다고 하자. 의 임의의 부분 집합 쌍대뿔은 다음과 같은 부분 집합이다.

성질

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실수 벡터 공간 속의 은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합 이다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 는 덧셈에 대한 모노이드이다. 즉, 임의의 에 대하여, 이다. (인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.)

실수 내적 공간 속의 임의의 부분 집합 의 쌍대뿔 은 항상 뿔이며, 볼록 집합이며, 닫힌집합이다.

증명:

  • 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의 에 대하여,
  • 덧셈에 대한 닫힘: 임의의 에 대하여,
  • 볼록성: 임의의 에 대하여, 이므로
  • 닫힌집합: 속의 임의의 점렬 로 수렴한다면, 임의의 에 대하여

실수 내적 공간 속의 임의의 부분 집합 에 대하여,

이다.

증명:

임의의 에 대하여, 필요 충분 조건

인 것이다. 그런데, 이므로, 위 조건은 의 정의에 따라 자동적으로 충족된다.

실수 내적 공간 속의 임의의 두 부분 집합 에 대하여, 만약 라면, 이다.

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실수 내적 공간 가 주어졌다고 하자.

  • 공집합 의 쌍대뿔은 이다.
  • 의 쌍대뿔은 이다.
  • 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 의 쌍대뿔은 (폐포)이다.
  • 의 쌍대뿔은 이다.