![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Dual_cone_illustration.svg/220px-Dual_cone_illustration.svg.png)
(푸른 부분)의 쌍대뿔은
(붉은 부분)이다.
기하학에서, 쌍대뿔(雙對뿔, 영어: dual cone)은 주어진 벡터 집합의 모든 원소와의 내적이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 부분 집합이다.
실수 내적 공간
가 주어졌다고 하자.
의 임의의 부분 집합
의 쌍대뿔은 다음과 같은 부분 집합이다.
![{\displaystyle C^{\vee }=\{v\in \mathbb {R} ^{n}\colon \langle c,v\rangle \geq 0\;\forall c\in C\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e0e93c67fc91106f74cd2bafe9f6abb4eb6484)
실수 벡터 공간
속의 뿔은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합
이다.
- 임의의
및
에 대하여, ![{\displaystyle \lambda v\in C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e31ef808bfb75affdb7a8d1738b157e97b2f2ef)
는 덧셈에 대한 모노이드이다. 즉, 임의의
에 대하여,
이다. (
인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.)
실수 내적 공간
속의 임의의 부분 집합
의 쌍대뿔
은 항상 뿔이며, 볼록 집합이며, 닫힌집합이다.
증명:
- 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의
및
및
에 대하여, ![{\displaystyle \langle \lambda u,c\rangle =\lambda \langle u,c\rangle \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de48bb3c78ec2ae69926ccc74895cbbbad39d1c4)
- 덧셈에 대한 닫힘: 임의의
및
에 대하여, ![{\displaystyle \langle u+v,c\rangle =\langle u,c\rangle +\langle v,c\rangle \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258cc5d71fefd8c1217c5b035e197a09bde50bd9)
- 볼록성: 임의의
및
에 대하여,
이므로 ![{\displaystyle tu+(1-t)v\in C^{\vee }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d0752b4285bc654be720fe503a260c2d4f0b9e)
- 닫힌집합:
속의 임의의 점렬
이
로 수렴한다면, 임의의
에 대하여 ![{\displaystyle \textstyle \langle u,c\rangle =\lim _{i\to \infty }\langle u_{i},c\rangle \geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9cb2ef630d21c3f8a0bfc1981edf05444cb744)
실수 내적 공간
속의 임의의 부분 집합
에 대하여,
![{\displaystyle C^{\vee \vee }\supseteq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fede9012abbe9a8bcf377be92287014a7c98105)
이다.
실수 내적 공간
속의 임의의 두 부분 집합
에 대하여, 만약
라면,
이다.
실수 내적 공간
가 주어졌다고 하자.
- 공집합
의 쌍대뿔은
이다.
의 쌍대뿔은
이다.
- 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간
의 쌍대뿔은
(폐포)이다.
의 쌍대뿔은
이다.