쌍대뿔

$C$ (푸른 부분)의 쌍대뿔은 $C^{*}$(붉은 부분)이다.

기하학에서, 쌍대뿔(雙對뿔, 영어: dual cone)은 주어진 벡터 집합의 모든 원소와의 내적이 음수가 아닌 벡터들로 구성된 부분 집합이다.

정의

실수 내적 공간 $(V,\langle ,\rangle )$가 주어졌다고 하자. $V$의 임의의 부분 집합 $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$의 쌍대뿔은 다음과 같은 부분 집합이다.

$C^{\vee }=\{v\in \mathbb {R} ^{n}\colon \langle c,v\rangle \geq 0\;\forall c\in C\}$

성질

실수 벡터 공간 $V$ 속의 뿔은 다음 두 연산에 대하여 닫혀 있는 부분 집합 $C\subseteq V$이다.

• 임의의 $v\in C$ 및 $\lambda \in [0,\infty )$에 대하여, $\lambda v\in C$
• $C$는 덧셈에 대한 모노이드이다. 즉, 임의의 $u,v\in C$에 대하여, $u+v\in C$이다. ($0\in C$인 것은 첫째 조건에 대하여 항상 성립한다.)

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 부분 집합 $C\subseteq V$의 쌍대뿔 $C^{\vee }\subseteq V$은 항상 뿔이며, 볼록 집합이며, 닫힌집합이다.

증명:

• 스칼라곱에 대한 닫힘: 임의의 $\lambda \in [0,\infty )$ 및 $u\in C^{\vee }$ 및 $c\in C$에 대하여, $\langle \lambda u,c\rangle =\lambda \langle u,c\rangle \geq 0$
• 덧셈에 대한 닫힘: 임의의 $u,v\in C^{\vee }$ 및 $c\in \in C$에 대하여, $\langle u+v,c\rangle =\langle u,c\rangle +\langle v,c\rangle \geq 0$
• 볼록성: 임의의 $u,v\in C^{\vee }$ 및 $t\in [0,1]$에 대하여, $tu,(1-t)v\in C^{\vee }$이므로 $tu+(1-t)v\in C^{\vee }$
• 닫힌집합: $C^{\vee }$ 속의 임의의 점렬 $(u_{i})_{i\in \mathbb {N} }$이 $\textstyle u=\lim _{i\to \infty }u_{i}$로 수렴한다면, 임의의 $c\in C$에 대하여 $\textstyle \langle u,c\rangle =\lim _{i\to \infty }\langle u_{i},c\rangle \geq 0$

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 부분 집합 $C\subseteq V$에 대하여,

$C^{\vee \vee }\supseteq C$

이다.

증명:

임의의 $c\in C$에 대하여, $c\in C^{\vee \vee }$일 필요 충분 조건은

$\forall u\in C^{\vee }\colon \;\langle c,u\rangle \geq 0$

인 것이다. 그런데, $\langle c,u\rangle =\langle u,c\rangle$이므로, 위 조건은 $C^{\vee }$의 정의에 따라 자동적으로 충족된다.

실수 내적 공간 $V$ 속의 임의의 두 부분 집합 $C,D\subseteq V$에 대하여, 만약 $C\subseteq D$라면,$C^{\vee }\supseteq D^{\vee }$ 이다.

예

실수 내적 공간 $V$가 주어졌다고 하자.

• 공집합 $\varnothing \subseteq V$의 쌍대뿔은 $\varnothing ^{\vee }=V$이다.
• $\{0\}\subseteq V$의 쌍대뿔은 $\{0\}^{\vee }=V$이다.
• 보다 일반적으로, 임의의 부분 벡터 공간 $W\subseteq V$의 쌍대뿔은 $W^{\vee }=\operatorname {cl} W$ (폐포)이다.
• $V\subseteq V$의 쌍대뿔은 $V^{\vee }=\{0\}$이다.