대수기하학에서 기하 불변량 이론 몫(幾何不變量理論몫, 영어: geometric invariant theory [GIT] quotient)은 대수군이 작용하는 대수다양체가 주어졌을 때, 이에 대한 몫을 정의하는 방법이다.[1][2] 이 경우, 일부 ‘매우 나쁜’ 점들(준안정점이 아닌 점)을 버리게 되며, 또한 일부 ‘조금 나쁜’ 점(안정점이 아닌 준안정점)의 경우 해당 상의 원상이 궤도 전체가 아닐 수 있다.
아핀 스킴의 경우[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 체
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
위의 아핀 스킴 ![{\displaystyle X/\operatorname {Spec} k=\operatorname {Spec} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3301b5c9c8c9346d268abade1d312834004441a6)
위의 대수군 ![{\displaystyle G/\operatorname {Spec} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f826cf166c60aeaaad580ecfad5fbec19346f05)
- 작용
![{\displaystyle G\times _{k}X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6b56e960bcabe8d2e55d8b823b0a3873a4634e)
그렇다면,
위에는 군의 작용
![{\displaystyle G\times A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaba59dabbc9e51e78c2c885217e433d63d399e)
![{\displaystyle (g.a)(x)=a(g^{-1}.x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd824e9d9e018cb481e59071362edd6e4d66020a)
이 주어진다. 그렇다면, 불변량의 대수
![{\displaystyle A^{G}=\{a\in A\colon \forall g\in G\colon g.a=a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349dcc181d878a255cc1d159a84513129e51f713)
를 정의할 수 있다. 이 역시
위의 가환 결합 대수이다.
그렇다면,
의 기하 불변량 이론 몫은 다음과 같다.
![{\displaystyle A/\!/G=\operatorname {Spec} (A^{G})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b12e460dda2ffb81bd51674e3be3646bdb6cae)
만약
가
위의 유한 생성 가환 결합 대수이며,
가 가약군이라면,
역시
위의 유한 생성 가환 결합 대수이다 (나가타 정리 영어: Nagata’s theorem).
일반 스킴의 경우[편집]
다음이 주어졌다고 하자.
- 체
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
위의 유한형 스킴 ![{\displaystyle X/\operatorname {Spec} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77fdb08a4b8971d984af0697ff322f28d8c3f24)
- 대수적 선다발
![{\displaystyle L\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58ad62cf643b5d93d26c52abdaba83e2623bf62)
위의 대수군 ![{\displaystyle G/\operatorname {Spec} k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f826cf166c60aeaaad580ecfad5fbec19346f05)
- 작용
![{\displaystyle G\times _{k}X\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6b56e960bcabe8d2e55d8b823b0a3873a4634e)
그렇다면, 이 데이터의 선형화는
위의
의 다음과 같은 조건을 만족시키는 작용이다.
- 임의의
에 대하여,
. 즉, 이는 각 올
에 대하여 사상
를 정의한다.
- 또한, 임의의
에 대하여,
는
-선형 변환이다.
이 경우, 대수적 선다발
에 대하여
의 기하점(대수적으로 닫힌 체 계수의 유리점)
![{\displaystyle \operatorname {Spec} {\bar {K}}\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260228899667c40f4e8c7d0a1d73f4c4e1d35411)
에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면,
를 준안정점이라고 한다.
- 어떤 양의 정수
및
-불변 단면
에 대하여,
이며
이 아핀 열린 부분 스킴이다.
만약 위 정의에 추가로
에서 모든 기하점의 궤도가 자리스키 닫힌집합이라는 조건이 추가로 성립하면
를 안정점이라고 한다.
준안정점들은 열린 부분 스킴
![{\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\subseteq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b18fe2a893d637dd969937926f55b70c1b6069a0)
을 구성한다. 정의에 따라서, 충분히 큰
및
-불변 단면
![{\displaystyle s_{1},\dotsc ,s_{n}\in \Gamma ({\mathcal {L}}^{\otimes N})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5fc08a904acd637a878f3af06759b75cab5b83)
에 대하여
![{\displaystyle \{x\in X\colon s_{i}(x)\neq 0\}\cong \operatorname {Spec} R_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02399300080b09dc075cf4e9cf38ef9b066b34b8)
![{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}\operatorname {Spec} R_{i}=X^{\operatorname {ss} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a84c16a2a00838a8b7b3a26d10b549f73f8d7b95)
가 된다. 따라서 각 아핀 열린 스킴에 대하여 기하 불변량 이론 몫
![{\displaystyle V_{i}=\operatorname {Spec} R_{i}^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78849c79e49dc3a171b36560cf0e88281059352a)
를 정의할 수 있으며, 이들을 짜깁기하여
위의 유한형 스킴
![{\displaystyle X/\!/G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811de1b1225778a0985119870ede3fae078adce6)
를 정의할 수 있다. 이를
의 기하 불변량 이론 몫이라고 한다. 이 개념은 사용한 선형화에 의존한다.
체
위의 유한형 스킴
및 그 위에 작용하는 대수군
및 선다발
및 선형화가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 안정점으로 구성된 열린 부분 스킴
및 준안정점으로 구성된 열린 부분 스킴
이 존재한다. 이 경우
의 경우 몫공간인 스킴
를 정의할 수 있다. 이 경우 다음과 같은 사상들이 존재한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}X^{\operatorname {s} }&\hookrightarrow &X^{\operatorname {ss} }&\hookrightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\X^{\operatorname {s} }/G&\hookrightarrow &X/\!/G\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cafdb19a28064d16edd89da5166f9e3f8ca8240c)
오비폴드[편집]
아핀 스킴
위의, 이산군
(2차 순환군)의 작용
![{\displaystyle (x,y)\mapsto (-x,-y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43ab71885e6ab7d3650f8e1c29d06537191b423d)
을 생각하자. 또한,
라고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}\cong K[x,y]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d3523f4d49e15776424db6a66cbcfed21ddc20d)
![{\displaystyle (a,b,c)\mapsto (x^{2},xy,y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9621251c488a229d5e9aee39b8080ac39a7b2986)
가 된다. 따라서
![{\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{2}/\!/\operatorname {Cyc} (2)=\operatorname {Spec} {\frac {[K[a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68950dc98be7629df981b0f4983e3ddd431f47b1)
는 3차원 아핀 공간 속의 이차 초곡면이다.
사영 공간[편집]
체
가 주어졌다고 하자. 곱셈군
이 사영 공간
위에 다음과 같이 작용한다고 하자.
![{\displaystyle \lambda .[x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{n}]=[\lambda ^{-n}x_{0}:\lambda x_{1}:\dotsb :\lambda x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be63251dc6e57ec0b04dc841f50995bfba654b5)
그렇다면, 닫힌 점
는 힐베르트-멈퍼드 수치 조건에 의하여 다음과 같이 분류된다.
- 만약
이며
이라면,
는 안정점이다.
- 만약
이라면,
는 안정점도, 준안정점도 아니다.
- 만약
이라면,
는 안정점도, 준안정점도 아니다.
(이 경우 모든 준안정점은 안정점이다.)
즉, 이 경우 준안정점의 부분 공간은
![{\displaystyle X^{\operatorname {ss} }\cong \mathbb {A} _{K}^{n}\setminus \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f41ab66d3172397d1377cfe20d59932f18f86d)
이며, 그 위의
의 작용은
![{\displaystyle \lambda .(x_{1},\dotsc ,x_{n})=(\lambda x_{1},\dotsc ,\lambda x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ad6bd9381160ac3b5bfac5b9893905ef208360)
이다. 따라서 그 기하 불변량 이론 몫은
![{\displaystyle X/\!/k^{\times }=\mathbb {P} _{k}^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7fc4185fd05b7d71833fee4605c4e50f843d091)
이다.
외부 링크[편집]