폐포 (위상수학)

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위상수학에서, 어떤 위상 공간의 부분 집합의 폐포(閉包, 영어: closure)는 그 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.[1] 그 집합에 속하는 점과 그 집합의 극한점으로 구성된다.[1]

위상 공간의 부분 집합 의 폐포는 또는 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상에서 정의되는 서로 다른 폐포를 구별하기 위해 아래 첨자를 덧붙여 와 같이 쓸 수도 있다. 만약 예를 들어 거리 함수 에 의해 유도된 위상이라면, 대신 를 첨자로 써도 된다.

정의[편집]

위상 공간 의 부분 집합 폐포점(閉包點, 영어: point of closure)은 다음 조건을 만족시키는 점 이다.

  • 의 모든 근방 에 대하여, 이다.

위상 공간 의 부분 집합 폐포 의 모든 폐포점의 집합이다.

성질[편집]

다음과 같은 성질들이 성립한다.

  • 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
    • 는 (의) 닫힌집합이다.
    • (여기서 유도 집합이다.)
  • 폐포 를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.
  • (여기서 내부, 경계, 분리 합집합이다.)

[편집]

폐포를 취하는 연산은 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다. 예를 들어, 표준적인 위상인 순서 위상을 갖춘 실수선 위에서 다음과 같은 집합들을 생각할 수 있다.

그렇다면,

이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. 92-101쪽. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 

외부 링크[편집]