심플렉틱 기하학에서 운동량 사상(運動量寫像, 영어: momentum map 모멘텀 맵[*], 영어: moment map 모먼트 맵[*])은 심플렉틱 다양체 위의 군의 작용을 생성하는 해밀토니언이다.[1][2][3][4] 해밀턴 역학에서의 운동량과 각운동량을 일반화한 것이다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 심플렉틱 다양체
![{\displaystyle (M,\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
- 리 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
- 매끄러운 군 표현
가 주어졌다고 하자. 여기서
는 심플렉틱 자기 동형 사상(심플렉틱 형식
를 보존하는 미분 동형
)들의 군이다.
리 대수의 원소
에 대하여,
위에는
의 작용의 무한소 생성원인 다음과 같은 벡터장
가 존재한다.
![{\displaystyle v_{\xi }=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\rho (\exp(t\xi ))(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfb10a84e54e8f5fee9efe3cb04c1cc099a26dc)
여기서
는 리 지수 사상이다.
의 작용
의 운동량 사상
는 임의의
에 대하여 다음을 만족시키는 함수다.
![{\displaystyle d\langle \mu ,\xi \rangle =\omega (v_{\xi },\cdot )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff5033eb0200002b96a342f93e959c040e0e691)
이를 지표 표기법으로 쓰면 다음과 같다.
![{\displaystyle \partial _{j}\mu _{a}=\omega _{ij}v_{a}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed0dc3f1d352050958d2528c8d6b71bf119db77)
여기서
는 접다발
의 지표이고,
는 리 대수
의 지표다.
심플렉틱 다양체
위의 리 군
의 작용의 운동량 사상
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의
![{\displaystyle \zeta \in ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa485fe13dd21bd9e76b3aa23b4b10beea1f458b)
에 대하여
역시 운동량 사상을 이룬다. 여기서
는
의 딸림표현의 쌍대 표현이며,
![{\displaystyle ({\mathfrak {g}}^{*})^{G}=\left\{\phi \in {\mathfrak {g}}^{*}\colon \forall x,y\in {\mathfrak {g}}\colon \phi ([x,y])=0\right\}=\operatorname {H} ^{0}({\mathfrak {g}};{\mathfrak {g}}^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d7b688ac7dee94ecbd1382ea7287a8323e14f7)
는 그 속의 불변 원소들의 집합(즉,
위의 무게의 집합, 또는
계수의
의 0차 리 대수 코호몰로지)이다.
가 콤팩트 리 군일 경우, 부분 공간
은
의 작용에 대하여 불변이다. 이 경우
는
의 심플렉틱 구조를 물려받는다. 즉, 몫공간
는 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 심플렉틱 몫공간(영어: symplectic quotient) 또는 마즈든-와인스타인 몫공간(영어: Marsden–Weinstein quotient)이라고 하며,
라고 쓴다.[5] 이 경우
![{\displaystyle \dim(M/\!/G)=\dim M-2\dim G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c4e12ec681058a6539e5403f055cdec93ecc17)
이다.
물론, 0 대신 임의의
에 대하여
를 사용할 수도 있다.
특히,
이 추가로 켈러 다양체
를 이루며,
의 작용이 심플렉틱 구조
및 복소구조
를 보존한다고 하자. 그렇다면, 이에 해당하는 심플렉틱 몫공간
![{\displaystyle M/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c7c3ce35318a2dd0327d44d3168dac5716232a)
는 켈러 다양체이다.
초켈러 다양체의 경우에도 몫공간을 정의할 수 있다.[6] 초켈러 다양체
은 세 선형 독립 심플렉틱 구조
(
)을 가진다. 군의 작용
이 세 개의 심플렉틱 구조를 모두 보존시킨다고 하자. 그렇다면 이에 대한 세 개의 서로 다른 운동량 사상
이 존재한다. 이들을 합쳐서
![{\displaystyle \mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}\otimes \mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/629a5649e57430e7f2070b2de69f45bbe5e4f325)
을 정의하자. 그렇다면
![{\displaystyle M/\!/\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0be39b5e41737fdaadf26d773a452431c642b8b)
는 초켈러 다양체를 이룬다. 그 차원은
![{\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }(M/\!/\!/G)=\dim _{\mathbb {R} }M-4\dim _{\mathbb {R} }G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901e970265c7e523ddcdc58dc3cf42c22c624006)
이다.
가 1차원 아벨 리 군
이라고 하자. 그렇다면
는 해밀턴 벡터장(영어: Hamiltonian vector field)
를 생성시키는 해밀토니언이다.
복소수 내적 공간
은 자명하게 켈러 다양체를 이룬다. 이 위에는 리 군
이 곱셈으로 작용하며, 이 가운데 심플렉틱 형식을 보존하는 것은 U(1) 부분군이다. 이에 대한 운동량 사상은 다음과 같다.
![{\displaystyle \mu \colon \mathbb {C} ^{n}\to {\mathfrak {lie}}(\operatorname {U} (1))=\mathrm {i} \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87070619ce99f28f11f711dfacc7e37c56f3b295)
![{\displaystyle \mu \colon z\mapsto \mathrm {i} \|z\|^{2}-\mathrm {i} C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf703d7f0aaf39b330d0cc23ca6f8ca47e0f223)
여기서
는 임의의 실수 상수이다.
이에 대하여 켈러 몫공간을 취하면,
일 때 복소수 사영 공간
을 얻으며, 그 위의 켈러 구조는 푸비니-슈투디 계량이다. 반대로,
일 경우는 공집합을 얻는다.
사원수 벡터 공간
은 자명하게 초켈러 다양체를 이룬다. 구체적으로, 이를
차원 복소수 내적 공간
에 대하여
![{\displaystyle W=V\oplus V^{*}=\mathrm {T} ^{*}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8faab10f75a8b137285e85f063192bd021731787)
로 적을 수 있다. 이 경우, U(1) 작용
![{\displaystyle (x,\xi )\mapsto (\lambda x,\lambda ^{-1}\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4b8d25a4e028cbb9cc78709f5ce2ac9b22db0f)
에 대한 운동량 사상
![{\displaystyle \mu _{1}(x,\xi )=\mathrm {i} (\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2})-\mathrm {i} C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13820c301db00f0a997486050432f95fe2439ca9)
![{\displaystyle \mu _{2}(x,\xi )+\mathrm {i} \mu _{3}(x,\xi )=\xi (x)-D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b005969ffb1ee5af5d8482d411bec7c452992b)
를 취하면,
일 때
![{\displaystyle \mu ^{-1}(0)=\{(x,\xi )\in \mathrm {T} ^{*}V\colon \xi \perp x,\;\|x\|^{2}-\|\xi \|^{2}=C\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a2e450a4db7bd4fd5c4687fa31804fbb4e17c3)
이다. 이 경우 초켈러 몫공간은
위의 사영 공간의 공변접다발
이다. 특히, 만약
가 2차원일 때, 이는 에구치-핸슨 공간이다.
- ↑ Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor Stefan (2004). 《Momentum maps and Hamiltonian reduction》. Progress in Mathematics (영어) 22. Birkhäuser. doi:10.1007/978-1-4757-3811-7. ISBN 978-0-8176-4307-2.
- ↑ Rovi, Ana (2011년 8월 31일). 《Kähler and symplectic manifolds: quotient constructions》 (PDF) (영어). 석사 학위 논문. University of Oxford. 2015년 9월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 9일에 확인함.
- ↑ Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor Sttefan (2004년 7월). “Symmetry reduction in symplectic and Poisson geometry”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 69 (1): 11–60. doi:10.1007/s11005-004-0898-x. ISSN 0377-9017.
- ↑ Cannas da Silva, Ana. “Symplectic geometry” (영어). arXiv:math/0505366. Bibcode:2005math......5366C.
- ↑ Marsden, Jerrold; Weinstein, Alan (1974년 2월). “Reduction of symplectic manifolds with symmetry”. 《Reports on Mathematical Physics》 (영어) 5 (1): 121–130. doi:10.1016/0034-4877(74)90021-4. ISSN 0034-4877.
- ↑ Hitchin, Nigel J.; Karlhede, A.; Lindström, U.; Roček, Martin (1987년 12월). “Hyper-Kähler metrics and supersymmetry”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 108 (4): 535–589. Bibcode:1987CMaPh.108..535H. doi:10.1007/BF01214418. ISSN 0010-3616. MR 877637. Zbl 0612.53043.