풍부한 선다발

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대수기하학에서, 풍부한 선다발(豐富한線다발, 영어: ample line bundle)은 그 거듭제곱의 단면들로 다양체를 사영 공간에 매장시킬(embed) 수 있는 선다발이다.

정의[편집]

매우 풍부한 선다발[편집]

스킴 S 위의 스킴 X\to S 위에 가역층 L\twoheadrightarrow X가 있다고 하자. L이 다음 조건을 만족시킨다면, 매우 풍부한 선다발(영어: very ample line bundle)이라고 한다.

\mathcal O(1)의 단면들은 대략 사영 공간동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.

풍부한 선다발[편집]

스킴 S 위의 스킴 X\to S 위의 가역층 L\twoheadrightarrow X이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 선다발(영어: very ample line bundle)이라고 한다.

  • 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, L^{\otimes n}은 매우 풍부한 선다발을 이룬다.

대역적 단면으로 생성되는 층[편집]

국소환 달린 공간 X 위의 아벨 군 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다.

여기서 \operatorname{res}_{X,U}\colon\Gamma(\mathcal F,X)\to\Gamma(\mathcal F,U)는 제약 사상이며, \Gamma(\mathcal F,-)는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

성질[편집]

주어진 선다발이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요)충분조건들이 존재하며, 대표적인 것으로는 나카이-모이셰존 조건(Nakai-Moishezon condition), 클라이만 조건(Kleiman condition), 세샤드리 조건(Seshadri condition) 등이 있다.

나카이-모이셰존 조건[편집]

비특이 대수다양체 S 위에 카르티에 인자 D가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • D에 대응하는 선다발은 풍부한 선다발이다.
  • D의 자기 교차수 D.D는 양수이며, S위의 임의의 (기약) 곡선 C에 대하여 D.C>0이다.

자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 선다발을 제시하였다.[1]

클라이만 조건[편집]

클라이만 조건(Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • D에 대응하는 선다발은 풍부한 선다발이다.
  • X 위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을 \operatorname{NE}(X)라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}에 대하여, D.C>0이다.

클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다.

층 코호몰로지[편집]

카르탕-세르-그로텐디크 정리(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 선다발 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • L은 풍부한 선다발이다.
  • X 위의 임의의 연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\otimes L^n이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재한다.

참고 문헌[편집]

  1. Nagata, Masayoshi (1959). “On the 14th problem of Hilbert” (영어). 《American Journal of Mathematics》 81 (3): 766–772. doi:10.2307/2372927. JSTOR 2372927. MR 0154867. 

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같이 보기[편집]