풍부한 가역층

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대수기하학에서, 풍부한 가역층(豐富한可逆層, 영어: ample invertible sheaf)은 그 거듭제곱의 단면들로 다양체를 사영 공간에 매장시킬(embed) 수 있는 가역층이다.

정의[편집]

매우 풍부한 가역층[편집]

스킴 사상 q\colon X\to YX 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는

가 존재한다면, \mathcal Lq에 대하여 매우 풍부한 가역층(영어: very ample invertible sheaf relative to q, 프랑스어: faisceau inversible très ample pour q)이라고 한다.[1]:79, Définition 4.4.2

\mathcal L\cong\iota^*\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)

\mathcal O_{\mathbb P(\mathcal E)}(1)의 단면들은 대략 사영 공간동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, L의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다. 매우 풍부한 인자(영어: very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼[2]:120과 류칭[3]:167, Definition 5.1.26이 사용하는 "매우 풍부한 가역층"의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상 q\colon X\to YX 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는

  • 양의 정수 n
  • Y-스킴의 몰입 \iota\colon X\hookrightarrow\mathbb P_Y^n

가 존재한다면, \mathcal Lq에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 \mathcal E는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 \mathbb P_Y^n의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

풍부한 가역층[편집]

콤팩트 분리 스킴 (X,\mathcal O_X) 위의 가역층 \mathcal L이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(영어: ample invertible sheaf, 프랑스어: faisceau inversible ample)이라고 한다.[1]:84, Définition 4.5.3[2]:153

  • X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal F\otimes\mathcal L^{\otimes n}은 대역적 단면으로부터 생성된다.[2]:153[1]:85, Proposition 4.5.5(d)[3]:169, Definition 5.1.33
  • X 위의 임의의 유한형 준연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.[1]:85, Proposition 4.5.5(d′)
  • X 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 \mathcal I에 대하여, \mathcal I\mathcal L^{\otimes(-n)}\otimes\mathcal O_X^{\oplus k}의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 n,k\in\mathbb Z^+가 존재한다.[1]:85, Proposition 4.5.5(d″)

풍부한 인자(영어: ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.[2]:153, Remark II.7.4.1

대역적 단면으로 생성되는 층[편집]

국소환 달린 공간 X 위의 아벨 군 \mathcal F가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다.

여기서 \operatorname{res}_{X,U}\colon\Gamma(\mathcal F,X)\to\Gamma(\mathcal F,U)는 제약 사상이며, \Gamma(\mathcal F,-)는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

성질[편집]

뇌터 환 R 위의 사영 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}R가 주어졌을 때, p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.[2]:154, Example II.7.4.3 뇌터 환 R 위의 유한형 스킴 p\colon X\to\operatorname{Spec}RX 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[2]:154, Theorem II.7.6

  • \mathcal L이 풍부한 가역층이다.
  • 충분히 큰 양의 정수 n에 대하여, \mathcal L^{\otimes n}p에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

풍부함의 필요충분조건[편집]

주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요)충분조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체 K 위의 고유 스킴 X\to\operatorname{Spec}K 위에 카르티에 인자 D가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, 영어: Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • D에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
  • 모든 정역 부분 스킴 Y\subset X에 대하여, 다음이 성립한다.
    \overbrace{D.D.\cdots.D}^{\dim Y}.Y>0

특이, 대수 곡선의 경우 풍부한 인자는 양의 차수의 인자와 같으며, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 D는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.

자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.[4]

클라이머 조건(영어: Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • D는 풍부한 가역층이다.
  • X 위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을 \operatorname{NE}(X)라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 C\in\overline{\operatorname{NE}(X)}에 대하여, D.C>0이다.

클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 D.D>0인 것과 대응한다.

카르탕-세르-그로텐디크 정리(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • L은 풍부한 가역층이다.
  • X 위의 임의의 연접층 \mathcal F에 대하여, \mathcal F\otimes L^n이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 n이 존재한다.

관련 개념[편집]

네프 가역층[편집]

K 위의 완비 대수다양체 X 위의 가역층 \mathcal L이 다음 조건을 만족시킨다면, 네프 가역층(영어: nef invertible sheaf)이라고 한다.

네프 가역층에 대응하는 카르티에 인자네프 인자(영어: nef divisor)라고 한다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다.

큰 가역층[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체 X 위의 가역층 \mathcal L에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가역층을 큰 가역층(영어: big invertible sheaf)이라고 한다.

이 조건은 쌍유리 변환에 대하여 불변이며, 따라서 쌍유리 기하학에서 중요하게 쓰인다.

해석기하학에서의 풍부[편집]

복소수 n차원 복소다양체 M 위의 미분 형식

\omega\in\Omega^{1,1}(M)\cap\Omega^2(M;\mathbb R)

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식(영어: positive (1,1)-form)이라고 한다.

  • \Omega^{1,0}(M)의 국소적 기저 \{dz^1,\dots,d_z^n\}를 잡았을 때, i\omega=\sum_i\alpha_idz^i\wedge d\bar z^i의 꼴이며, \alpha_1,\dots,\alpha_n\ge0이다.
  • 임의의 x\in Mv\in T^{1,0}_x(M)에 대하여, -i\omega(v,\bar v)\ge0이다.
  • \operatorname{Im}h=-\omega인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 h가 존재한다.

복소다양체 M 위의 해석적 선다발 L\twoheadrightarrow M에 대하여, \nabla^{0,1}=\bar\partial인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속(영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률 F는 항상

F\in\Omega^{1,1}(M)\cap i\Omega^2(M;\mathbb R)

이며, 만약 iF가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 L양의 선다발(영어: positive line bundle)이라고 한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 X 위의 가역층 \mathcal L이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 X^{\operatorname{an}}는 콤팩트 복소다양체를 이루며, \mathcal L^{\operatorname{an}}은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathcal L은 풍부한 가역층이다.
  • \mathcal L^{\operatorname{an}}은 양의 선다발이다.

[편집]

뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.[2]:154, Example II.7.4.2

K 위의 사영 공간 \mathbb P^n_K 위의 정수 k\in\mathbb N에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[2]:155, Example II.7.6.1

  • \mathcal O(k)는 풍부한 가역층이다.
  • \mathcal O(k)\mathbb P^n_K\twoheadrightarrow\operatorname{Spec}K에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
  • k>0

역사[편집]

나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(일본어: 中井 善一 (なかい よしかず))[5]와 보리스 게르셰비치 모이셰존(러시아어: Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н)[6]이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(영어: Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다.[7]

참고 문헌[편집]

  1. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes” (프랑스어). 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  3. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 (영어). Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 
  4. Nagata, Masayoshi (1959). “On the 14th problem of Hilbert” (영어). 《American Journal of Mathematics》 81 (3): 766–772. doi:10.2307/2372927. JSTOR 2372927. MR 0154867. 
  5. Nakai, Yoshikazu (1963). “A criterion of an ample sheaf on a projective scheme” (영어). 《American Journal of Mathematics》 85 (1): 14–26. doi:10.2307/2373180. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373180. MR 0151461. 
  6. Мойшезон, Б. Г (1964). “Критерий проективности полных алгебраических абстрактных многообразий” (러시아어). 《Известия академии наук СССР. Серия математическая》 28 (1): 179–224. ISSN 0373-2436. MR 0160782. 
  7. Kleiman, Steven L. (1966). “Toward a numerical theory of ampleness” (영어). 《Annals of Mathematics》 84 (3): 293–344. doi:10.2307/1970447. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970447. MR 0206009. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]