사용자:이공계번역가/연습장 (1)

양자역학에서, 브라-켓 표기법(bra-ket notation)은 양자 상태를 표현하기 위한 표준 표기법이다. 또한 이 표기법은 추상적인 벡터를 나타내거나 선형 범함수를 표현하는데 사용되기도 한다. 또한 수를 나타내는 데 사용된 추상적인 벡터 와 선형 functionals 에서 수학습니다. 표기 시작과 함께 사용하여 각괄호,⟨및 종류와 수직 바다,|,을 나타내 는 스칼라 제품 의 벡터 또는 액션의 선형적 기능에 벡터에서 복잡한 벡터 공간입니다. 내적이나 작용은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle }$

오른쪽 부분은 켓이라고 하며, 일반적으로 벡터 중에서도 열벡터를 나타내고 다음과 같이 쓰인다.

${\displaystyle }$

왼쪽 부분은 브라라고 하며, 같은 레이블의 (같은 내용물을 가진) 켓의 에르미트 수반이다. 주로 행벡터를 나타내고, 다음과 같이 쓰인다.

${\displaystyle }$

브라, 켓, 연산자의 조합은 행렬 곱셈을 표현하는데 사용된다. 레이블이 같은 브라와 켓은 서로에게 에르미트 수반이다.

브라-켓 표기법은 1939년에 폴 디랙에 의해 소개되었기 때문에 디랙 표기법이라고도 한다.

브라-켓 표기법은 그보다 100년 전쯤에 헤르만 그라스만이 내적에 대해  ${\displaystyle }$

소개

브라-켓 표기법은 선형대수학의 표기법으로, 특히 유한/무한 차원의 복소수 벡터 공간에서의 벡터, 내적, 선형 연산자, 에르미트 수반, 쌍대공간에 초점이 맞추어져있다. 이 표기법은 특히 양자역학에서 자주 사용되는 연산들을 쉽게 하기 위해 설계되었다.

양자역학에서 브라-켓 표기법은 매우 광범위하게 사용되고 있다. 많은 현상들이 양자역학으로 설명되고, 양자역학은 보통 브라-켓 표기법으로 표현되기 때문이다.

간단한 경우, 켓 |m⟩ 은 열벡터로 쓰일 수 있으며, 같은 레이블의 브라 ⟨m| 의 켤레 전치(행벡터)이다. 그리고 브라, 켓, 선형 연산자를 나란히 쓰는 것은 행렬 곱셈을 의미한다. 그러나, 켓은 문자 그대로 열벡터로 표현하는 것이 불가능한 셀 수 없는 무한 차원 벡터 공간에서 나타날 수도 있다. 또한, 숫자들의 목록으로 열벡터를 쓰는기 위해서는 기저가 필요한데, 이에 반해 "|m⟩"이라고 쓰는것은 어떠한 특정한 기저를 정할 필요가 없다. 이러한 특성은 자주 다른 기저(예를 들자면 위치 기저, 운동량기저, 에너지 고유기저 등)로 바꿔야하는 양자역학에서의 계산에서 유용하며, 그래서 브라-켓 표기법은 (어떠한 종류의) 기저벡터를 명시적으로 표현하기에 좋다. 어떤 상황에서는 중요한 두 기저 벡터가 단순히"|-⟩"와 "|+⟩"로 표현될 때도 있다.

일부 물리학자들이 선호하는 내적에 대한 표준 수학적 표기법은 다음 식과 같은 관계로 브라-켓 표기법과 정확히 같은 뜻을 나타낸다.

${\displaystyle }$

브라와 켓은 또한 다른 방법으로 구성되어 등의 다른 뜻을 나타낼 수도 있다. 다음 식과 같이 외적을 나타낼 수도 있다.

${\displaystyle }$

또한 행렬 곱셈(즉, 열벡터 곱하기 행벡터는 행렬)을 나타낼 수도 있다.

만약 켓이 벡터공간의 한 원소일 경우, 대응되는 브라는 쌍대공간의 원소이다. — 리스 표현 정리를 참고하라.

벡터 공간

벡터 vs 켓

수학에서 "벡터"라는 용어는 일반적으로 어떠한 벡터 공간의 한 원소를 일컫는 데에 사용된다. 하지만 물리학에서 "벡터"라는 용어는 조금 더 자세한데, 거의 대부분이 실세계의 세 차원과 직접적으로 연관되어있는 세 요소를 가지고 있는 물리량(변위, 속도 등)들을 일컫는 데에만 사용된다. 이러한 벡터는 일반적으로 화살표를 위에 표시하거나(r→)또는 굵게 표시하여 (r) 나타내어진다.

양자역학에서 양자 상태는 일반적으로 추상복소수벡터공간의 원소로 표현되는데, 예를 들어 모든 가능한 파동함수(삼차원 공간의 각 점에서 복소수로 대응되는 함수)의 유한 차원 벡터 공간 등이 있다. 이후    그러나 "벡터"라는 용어가 이미 다른 것들을 가르키는데 사용되면서(이전 단락을 참고하라.) 이러한 추상복소수벡터공간의 원소들을 일반적으로 "켓"으로 불리고 켓 표기법을 사용하여 표기하게 되었다.

켓 표기법

디랙이 발명한 켓 표기법은 수직선과 꺽쇠괄호를 사용한다.( |A⟩ ) 이 표기법이 사용될 때, 이러한 양들은 "켓"이라고 불리며, |A⟩는 "켓-A"로 읽는다. 이러한 켓들은 선형대수학의 일반적인 법칙을 통해 만들어질 수 있다. 예시는 다음과 같다.

${\displaystyle }$

참고로, 어떠한 기호, 문자, 숫자, 심지어 단어들도 편리한 레이블은 무엇이든지 켓 안에 레이블로 쓰일 수 있다. 예를 들어, 위 수식의 마지막 줄은 각 실수 x마다 있는 무한히 많은 켓들을 조합해서 만들어진다. 다시 말해서 기호"|A⟩"는 "A" 자체의 의미와 관계 없이 구체적이고도 보편적인 수학적 의미를 가지고 있다. 예를 들어, |1⟩ + |2⟩ 는 |3⟩일 수도 있고, 아닐 수도 있다. 그럼에도 불구하고, 하지만 용이한 이해를 위해 켓 안의 레이블은 논리적으로 붙여진다. 예를 들어, 양자역학에서 에너지 고유켓은 관습적이고 일반적으로 그들의 양자수 목록에 따라 붙여진다.

내적과 브라

내적은 일반화된 스칼라곱으로, 두 벡터의 내적은 스칼라이다. 중성 표기법(오로지 내적에만 사용되는 표기법)에서, 내적은 (A, B) 으로 쓰일 수 있다. 여기에서 A 와 B 는 모두 추상벡터공간의 원소, 즉, 둘다 켓이다.

브라–켓 표기법은 내적을 위한 표기법으로 다음과 같이 사용된다.

${\displaystyle }$

브라–켓 표기법은 "브래킷(괄호)"으로 불리는 내적을 다음과 같이 "브라"와 "켓" 두 부분으로 나눈다.

${\displaystyle }$

여기에서 ⟨A| 는 브라로 불리며, "브라-A"로 읽고, |B⟩ 는 위에서와 같이 켓이다.

내적을 브라와 켓으로 "나누는" 목적은 브라 ⟨A| 와 켓 |B⟩ 는 둘다 , 그 자체 로 의미가 있으며, 내적 밖의 다른 맥락에서 사용될 수 있기 때문이다. 브라와 켓을 분리하는 의미를 생각하는데에는 주로 다음과 같은 두 가지 방법이 있다. 따라서, 표현 ⟨A|B⟩에 대한 해석은 아래에 있는 두번째 해석, 즉, 선형 범함수의 작용으로 해석되어진다. 

브라와 켓을 행벡터와 열벡터로 해석

고정된 정규 직교 기저를 사용하는 유한차원 벡터공간에서, 내적은 다음과 같이 행벡터와 열벡터의 행렬 곱셈으로 쓰일 수 있다.

${\displaystyle }$

이를 바탕으로 하면, 브라와 켓은 다음과 같이 정의될 수 있다.

${\displaystyle }$

그리고 이러한 정의는 브라 옆에 켓을 놓는것을 행렬 곱셈을 암시하는것으로 이해하게 한다.

브라의 켤레 전치(에르미트 수반으로도 알려져 있다.)는 켓과 일치하고, 그 반대의 경우도 마찬가지이다.

${\displaystyle }$

왜냐하면 다음과 같은 브라,

${\displaystyle }$

가 있을 때, 켤레 복소수를 취하고 행렬을 전치하면 다음과 같은 켓이 되기 때문이다.

${\displaystyle }$

브라를 선형범함수로 해석

무한차원공간으로 일반화하기에 더 쉬운 동치의 추상적인 정의로는 브라를 켓의 공간에서의 선형 범함수로, 즉, 켓을 입력으로 하고 복소수를 출력하는 선형 변환으로 두는 것이다. 브라로 표현되는 선형 범함수는 내적과 똑같이 정의된다. 따라서, 만약 ⟨A| 가 리스 표현 정리 아래에서 |A⟩ 와 상응하는 선형 범함수라면 다음과 같다.

${\displaystyle }$

즉, 이것 또한 내적과 똑같은 복소수를 만들어낸다. 우변의 표현은 여전히 두개의 켓을 포함하지만 내적이 아니다. 이러한 내용이 혼란스러울수는 있지만, 결국 같은 숫자가 만들어지므로 내적으로 계산해도 큰 문제는 없다.

수학 용어적으로, 브라의 벡터 공간은 켓의 벡터공간의 쌍대 공간이며, 상응하는 브라와 켓은 리스 표현 정리에 따라 연관되어있다.

규격화 불가능 상태와 비힐베르트 공간에서의 브라-켓 표기법

브라–켓 표기법은 힐베르트 공간이 아닌 벡터 공간에서도 사용될 수 있다.

양자역학에서, 무한의 노름을 가지고 있는 켓, 즉, 규격화 불가능 파동함수들은 관습적으로 쓰이고 있다. 예시로는 디랙 델타 함수나 무한 평면파가 파동 함수로 사용되는 상태 등이 있다. 기술적으로, 이러한 상태는 힐베르트 공간에 속하지 않는다. However, 그러나, "힐베르트 공간"의 정의는 이러한 상태들을 포함하도록 확장될 수 있다.( Gelfand–Naimark–Segal construction 또는 rigged Hilbert spaces를 참고하라.) 브라–켓 표기법은 이러한 넓은 맥락에서도 비유적으로 사용될 수 있다.

바나흐 공간은 힐베르트공간의 다른 정규화이다. 바나흐 공간 B에서, 벡터는 켓으로, 선형 범함수는 브라로 표기될 수 있다. 사실, 위상 공간이 아닌 어떠한 벡터공간에서도 벡터를 켓으로 선형 범함수를 브라로 표기하는 것이 가능하다. 이러한 더 일반적인 맥락에서 꺾쇠괄호는 리스 표현 정리가 적용될 수 없기 때문에 더 이상 내적의 의미를 가질 수 없다.

양자역학에서의 사용

양자역학의 수학적 구조들의 대부분은 선형대수학을 기반으로 한다.

• 파동 함수 및 다른 양자상태는 복소수 힐베르트 공간의 벡터로 표현될 수 있다.(이 힐베르트 공간의 정확한 구조는 상황에 따라 다르다.) 브라-켓 표기법에서의 예를 들자면 하나의 전자는 "상태" |ψ⟩에 존재할 수 있다. (기술적으로, 양자상태는 힐베르트 공간위에서 벡터 방향으로의 반직선이기 때문에, 0이 아닌 복소수 :{{math}}c; 에 대해 c|ψ⟩ 또한 같은 상태에 대응된다.)
• 양자적 중첩상태는 중첩상태를 구성하는 상태들의 벡터 합으로 표현될 수 있다. 예를 들어, 전자가 |1⟩ + i |2⟩ 인 상태에 있는 것은 상태 |1⟩과 상태 |2⟩가 중첩된 상태에 있다는 것이다.
• 관측은 양자상태의 힐베르트 공간 위에서의 선형연산과 연관된다. 이는 관측가능량이라고도 불린다.
• 동역학은 힐베르트 공간에서의 선형 연산자로 설명되기도 한다. 예를 들어, 슈뢰딩거 묘사에는 하나의 전자가 지금 상태 |ψ⟩에 있을 때 모든 가능한 |ψ⟩에 대해 적용되는 선형 시간 변화 연산자 U가 있어 약간의 시간 뒤의 상태를 U|ψ⟩로 표시한다.  U   |ψ⟩  U|ψ⟩.
• 파동함수 규격화는 파동 함수의 노름을 1로 맞추는 작업이다.

벡터와 선형 연산자를 포함한 양자역학의 모든 계산은 사실상 브라-켓 표기법으로 표기될 수 있다. 아래는 그에 대한 몇가지 예시이다.

스핀이 없는 위치공간 파동함수

가산 무한차원 힐베르트 공간에 속하는 복소 벡터 |A⟩ = ∑_k A_k |e_k⟩의 이산 요소  A_k 에 대해서,  which belongs to a countably infinite-dimensional Hilbert space; there are countably infinitely many k values and basis vectors |e_k⟩.

Continuous components ψ(x) of a complex vector |ψ⟩ = ∫ dx ψ(x)|x⟩, which belongs to an uncountably infinite-dimensional Hilbert space; there are infinitely many x values and basis vectors |x⟩.

Components of complex vectors plotted against index number; discrete k and continuous x. Two particular components out of infinitely many are highlighted.

스핀-0 점 입자의 힐베르트 공간은 "위치 기저" { |r⟩ } 위에 펼쳐져 있다. 이때 레이블 r 은 위치 공간에 있는 모든 점들의 집합에 걸쳐져 있다. 이 레이블은 어떠한 기저 상태 ${\displaystyle }$ 이  있기 때문에 인 uncountably 무 수 벡터의 구성 요소에 기초하여,이 uncountably 무한 차원 힐베르트 공간입니다. 의 크기는 힐베르트 공간(일반적으로 무한한)및 위치 공간(일반적으로 1,2 또는 3)되지 않을 수 융합니다.

이러한 힐베르트 공간에서 시작하는 어느 켓 |Ψ⟩ 에 대해 다음과 같이 파동함수로도 알려져 있는 스칼라 함수 r을 정의할 수 있다.

${\displaystyle }$

왼쪽에서 Ψ(r) 은 공간상의 어느 점으로부터 복소수로의 대응이며, 오른쪽의 |Ψ⟩ = ∫ d³r Ψ(r) |r⟩ 는 켓이다.

그 다음이 습관을 정의 선형 연산자는 행동에 wavefunctions 측면에서는 선형 연산자의 행동에 화장실에 의하여,

${\displaystyle }$

예를 들어, 운동량 연산자 p 는 다음과 같은 형태이다.

${\displaystyle }$

이때 다음과 같은 표현과 마주치게 되는데, 하나 때때로 발생하면 표현과 같이

${\displaystyle }$

하지만 이것은 표기법의 남용이다. 차 운영자 이해되어야 할 추상적 운영자에 작용,화장실,그것의 효력이 있는 차별화 wavefunctions 한 번의 표현으로 투영 위치에 기초,

${\displaystyle }$

도 하지만,모멘텀을 바탕으로,연산자 금액은 단순한 곱셈 연산자( iħp).

상태의 중첩

양자 역학에서 식 ⟨φ|ψ⟩ 은 일반적으로 상태ψ가 상태 φ으로 붕괴할 확률 진폭으로 해석된다.  ψ  φ니다. 수학적으로,이 의미는 계수에 대한 투영의 ψ 에 φ니다. 그것은 또한 것으로 설명 프로젝션의 상태 ψ 에 국가 φ니다.

변화에 대한 기초전-1/2 입자

고정 spin-1/2 입자는 두 차원 힐베르트 공간입니다. 하나의 정규 기초 입니다:

${\displaystyle }$

치 |↑_z⟩ 는 상태로 명확한 가치의 회전 운영 S_z 같+1/2 고 |↓_z⟩ 는 상태로 명확한 가치의 회전 운영 S_z 같−1/2니다.

이후 이러한 기준으로, 어떤 양자 상태 의 입자로 표현할 수 있는 선형 조합 (즉, 양자 중첩)이러한 두 가지 상태:

${\displaystyle }$

이때 a_ψ 와 b_ψ 는 복소수이다.

는 다른 기준에 대한 동일한 힐베르트 공간입니다:

${\displaystyle }$

의 측면에서 정의 S_x 보다 S_z니다.

또, 어떤 상태의 입자로 표현할 수 있는 선형 조합의 이러한 두 가지:

${\displaystyle }$

에서 벡터 양식을 작성할 수 있습니다

${\displaystyle }$

에 따라 기준으로 사용하고 있습니다. 즉,"좌표"의 벡터에 의존한 기준으로 사용됩니다.

이 있을 수학적으로 간의 관계 a_ψ, b_ψ, c_ψ 및 d_ψ참조 로 변경의 기초입니다.

잘못된 사용

거기에 몇 가지 협약과 인권 침해의 표는 일반적으로 받아들여 물리학 지역 사회,그러나 혼동을 일으킬 수 있는 비가 시작됩니다.

그것은 일반적인을 사용하여 동일한 기호 라벨 와 상수를 동일한 방정식이다. 예를 들어, α̂ |α⟩ = α |α⟩는 기호 α 사용되는 동시에 으로 운영자의 이름 α̂, 변경했 |α⟩ 와 관련된 고유치 α니다.

비슷한에서 발생합성분 표기의 벡터다. 동 Ψ (대문자)는 전통적으로 관련된 wavefunctions, ψ (소문자)를 사용할 수 있습을 나타내는 레이블, 파 기능 또는 복잡한 일정한 같은 맥락에서 일반적으로 차별화된 의해서만 아래 첨자니다.

메인 남용을 포함하는 작업이 내부의 벡터 레이블이 있습니다. 이렇게 빠르게 표기법의 확장은 벡터다. E.g 니다. 으면 벡터 |α⟩ 가에 의해 확장 √2할 수 있습으로 표시됩 |α/√2⟩,어떤 의미가 없기 때문 α 은 레이블,하지 않는 기능 또는 수로,그래서 당신은 수행하지 못하는 작업이다.

이는 특히 일반적인 경우를 나타내는 벡터로 텐서 제품의 부분은 레이블은 이동 밖에 서 설계된 슬롯,예를 들어, |α⟩ = |α/√2₁⟩ ⊗ |α/√2₂⟩이다. 여기에서의 일부 레테르를 붙이는 상태로는 벡터가 다릅니 이 밖에서 화장실,아래 첨자 1 및 2. 와 더 남용이 발생하기 때문 α 의미를 참조 규범의 첫 번째 벡터는 라벨을 나타내는 값입니다.

선형 연산자

켓에 작용하는 선형 연산자

켓을 입력으로 하고 켓을 출력으로 하는 선형 연산자를 맵이라고 한다. ("선형"으로 불리기 위해서는 몇가지 속성이 요구된다.) 다시 말해서,경우에 A 선형 연산자 및 |ψ⟩ 는 ket, A|ψ⟩ 가 다른 ket 니다.

에는 N-차원 힐베르트 공간, |ψ⟩ 으로 작성할 수 있는 N × 1 열 벡터,그리고 다음 A 이 N × N 매트릭스가 복잡한 항목이 있습니다. Ket A|ψ⟩ 를 계산할 수 있으로 정상적인 행렬의 곱셈니다.

선형 연산자는 유비쿼터스의 이론에서 양자 역학에 있습니다. 예를 들어,현저한 물리량에 의해 표현된 자 adjoint 사업자와 같은 에너지 또는 기세는 반면,변화시키는 프로세스에 의해 표현되는 단일 선형 연산자와 같은 회전이나 시간의 진행합니다.

브라에 작용하는 선형 연산자

사업자로 볼 수 있습니다 행동에서 브래지어 에서 오른쪽입니다. 특히,는 경우에 A 선형 연산자 및 ⟨φ| 은 브래지어,다음 ⟨φ|A 또 다른 브래지어에 의해 정의된 규칙

${\displaystyle }$

(즉, 함수의 합성)니다. 이 표현은 일반적으로 기록(cf. 에너지 내면의 제품)

${\displaystyle }$

N-차원 힐베르트 공간에서, ⟨φ| 는 으로 작성할 수 있 1 × N 행 벡터, A (으로 이전 섹션에) N × N 행렬입니다. 다음은 브라 ⟨φ|A 계산할 수 있습니에 의해 정상적인 행렬의 곱셈니다.

는 경우 동일한 상태 벡터에 나타나는 모두 브라 ket 측면

${\displaystyle }$

이 표현은 기대값또는 평균 또는 평균 값의 관찰할 수 있는 표현에 의해 운영자는 A 를 실제 시스템 상태에서 |ψ⟩입니다.

외적

는 편리한 방법을 정의 선형 연산자에 힐베르트 공간에 H 주로 외부에 제품:는 경우 ⟨φ| 은 브래지어 |ψ⟩ 는 ket,외부 제품

${\displaystyle }$

을 나타내 순위를 한 명의 작업자 와 규칙

에 대한 유한차원 벡터 공간,외부 제품은 이해할 수 있으로 간단한 행렬의 곱셈:

$|\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\phi _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}$

외부 제품은 N × N 매트릭스에 대한 선형 연산자입니다.

중 하나를 사용의 제품이 건설 사영작용소입니다. 주 ket |ψ⟩ 의 규범 1,직교하는 투상에 하위 공간 스팬에 의해 |ψ⟩ 입니다

${\displaystyle }$

Hermitian 복합 운영자

만큼 화장실 및 브래지어로 변환될 수 있는 각 기타(기 |ψ⟩ 로 ⟨ψ|),요소에 듀얼 공간에 해당하는 A|ψ⟩ 가 ⟨ψ|A^†, A^† 나타냅 Hermitian 복합 (또는 adjoint)연산자가 A습니다. 다시 말해서,

${\displaystyle }$

는 경우에 A 표현으로 N × N 매트릭스, A^† 의 접합 트랜스입니다.

자 adjoint operators, A = A^†,에서 중요한 역할을 양자역학,예를 들어, 현저 가 항상 설명에 의해 자기 adjoint 연산자입니다. 는 경우에 A 자 adjoint 연산자,그 ⟨ψ|A|ψ⟩ 는 항상 실수(복잡하지 않). 이 의미는 기대 값 의 관찰 가능한 실제입니다.

성질

브라–ket 표기법을 촉진하도록 설계되었 공식적인 조작 선형 대수적 표현합니다. 일부의 수 있도록 하는 특성을 조작 여기에 나열 됩니다. 무엇을 다음과 같이, c₁ 고 c₂ 나타내 임의의 복잡한 숫자, c* 을 나타내 는 복잡한 공액 의 c, A 및 B 을 나타내 임의 선형 연산자,그리고 이러한 속성을 유지하기 위해 어떤 선택의 브래지어 화장실습니다.

선형성

• 이후 브래지어는 선형 functionals,

${\displaystyle }$

• 에 의해 정의 외과 스칼라의 곱셈 선형 functionals 에 듀얼 공간,

${\displaystyle }$

연관성

주어진 모든 식와 관련된 복잡한 숫자,브래지어 화장실,inner products,외부품 및/또는 선형 연산자(또한),서면에서는 브래지어–ket notation,괄호 그룹이 중요하지 않습니다(즉, 연결 속성을 보유하고). 예를 들어:

${\displaystyle }$

등니다. 식 오른쪽에(괄호 없이는 어떠한)기록할 명확하게 때문에 의 평등에 왼쪽에 있습니다. 참고로 연관성까 지 보유한 표현을 포함한 비선형 사업자 등 antilinear 시간 반전 운전자 에서 물리학을 전공하고 있습니다.

에르미트 수반

브라–ket 표기법은 특히 쉽게 계산하는 Hermitian 복합( 단도,그리고 표시 †)의 표현입니다. 공식적인 규칙은 다음과 같습니다:

• 이 Hermitian 복합의 브래지어는 해당 ket,그 반대입니다.
• 이 Hermitian 복합의 복잡한 숫자가의 복잡한 결합니다.
• 이 Hermitian 복합의 Hermitian 복합의 아무것도(선형 연산자,브래지어 화장실,숫자)를 자체 즉,

${\displaystyle }$

• 주어진 어떠한 조합의 복잡한 숫자,브래지어 화장실,inner products,외부품 및/또는 선형 연산자,작성에는 브래지어–ket notation,Hermitian 복합 계산할 수 있습니에 의해 반전 구성 요소의 순서,그리고 복 Hermitian 복합의 각각합니다.

이러한 규정은 충분한 공식적으로 쓰 Hermitian 복합의 이러한 표현을 몇 가지 예는 다음과 같습니다:

• 켓:

${\displaystyle }$

• 안품:

${\displaystyle }$

Note ⟨φ|ψ⟩ 가 스칼라,Hermitian 복합 단지는 복잡한 공액,즉

${\displaystyle }$

• 매트릭스 요소:

${\displaystyle }$

• 외부 제품은:

${\displaystyle }$

합성 브래지어 화장실

두 힐베르트 공간 V 와 W 를 형성할 수 있습니다 스페 V ⊗ W 로 텐서는 제품입니다. 에서는 양자역학이 설명하기 위해 사용되는 복합 시스템입니다. 는 경우 시스템의 구성은 두 개의 서브시스템에서 설명 V 와 W 각각 다음 힐베르트 공간 전체 시스템의 텐서 제품이 두 개의 공간입니다. (예외는 경우에는 서브시스템이 실제로 동일한 입자니다. 는 경우,상황은 좀 더 복잡합니다.)

는 경우 |ψ⟩ 는 ket 에 V 고 |φ⟩ 는 ket 에 W,의 직접적인 제품에 두 화장실은 ket 에 V ⊗ W니다. 이 기록에서 다양한 표기:

${\displaystyle }$

보 양자 얽힘 과 EPR 역설 한 응용 프로그램의 이 제품입니다.

단위자

을 고려한 완전한 정규 시스템(기초),

${\displaystyle }$

에 대해 힐베르트 공간 H에 대하여,규범에서는  내부 제품 ⟨·,·⟩ 입니다.

에서 기본 기능적 분석,그것이 알려진 그 어떤 ket |ψ⟩ 작성할 수도 있습니다로

${\displaystyle }$

와 ⟨·|·⟩ 내부에서 제품 힐베르트 공간입니다.

에서 교환 법칙의 화장실(컴플렉스)스칼라,그것은 다음과 같이

${\displaystyle }$

해야 합 id 연산자를보내지며,각각의 벡터 자체입니다.

이 다음에 삽입될 수 있는 모든 표현에 영향을 주지 않고 그 값;예를 들어

${\displaystyle }$

어디에서 마지막 id, 아인슈타인은 변론 컨벤션 이 사용되었습니다.

에서 는 양자역학,그것은 종종 발생하는 거의 또는 전혀에 대한 정보를 제품 안 ⟨ψ|φ⟩ 의 임의의 두(주)화장실이 존재하는 동안,그것은 여전히 가능하에 대해 말씀을 팽창 계수 ⟨ψ|e_i⟩ = ⟨e_i|ψ⟩* 과 ⟨e_i|φ⟩ 사람들의 벡터와 관련하여 특(orthonormalized)기준입니다. 이 경우에,그것은 특히 유용을 삽입하는 단위자로 하나의 부류 시간이나 더 있습니다.

자세한 내용은 해상도의 id,

•     1 = ∫ dx |x⟩⟨x| = ∫ dp |p⟩⟨p|, |p⟩ = ∫ dx e^ixp/ħ|x⟩/√2πħ니다.

이후 ⟨x′|x⟩ = δ(x − x′),평면파,따라 ⟨x|p⟩ = e^ixp/ħ/√2πħ니다.

표기법을 사용하여 수학자

체 물리학자가 고려 할 때 사용하는 브라 전체를 통틀어 최고의 표기는 힐베르트 공간 ( 전체 안에 제품 공간)니다.

Let H 힐베르트 공간이 될고 h ∈ H 벡터에 H입니다. 무엇을 물리학자들은 것을 나타내기 위하여 |h⟩ 는 벡터 자체입니다. 즉,

${\displaystyle }$니다.

Let H* 수 중 공간 의 H니다. 이것은 공간의 선형 functionals 에 H습니다. 에 동형 Φ : H → H* 에 의해 정의된 Φ(h) = φ_h,모든 g ∈ H 우리는 정의

${\displaystyle }$,

는 IP(·,·), (·,·), ⟨·,·⟩ 및 ⟨·|·⟩ 같은 다른 표기법을 표현하기 위한 내부 제품에 있는 두 요소 사이의 힐베르트 공간(또는 위한 첫 번째로,세로 모든 내면의 제품을 공간이다). 표기법을 혼란 때 발생한 식별 φ_h 고 g 와 ⟨h| 고 |g⟩ 는 각각합니다. 이 때의 문자 상징적인 대체합니다. 자 φ_h = H = ⟨h| 자 g = G = |g⟩입니다. 이 제공

${\displaystyle }$

하나는 무시 괄호와 제거를 두 번 바가 있습니다. 일부의 특성을 이 표기법은 편리하기 때문에 우리는 다루고 있는 선형 연산자와 소재와 같은 역할을 링 수 있습니다.

또한,수학자는 일반적으로 작성 듀얼 엔티티만에 처음으로 물리학자,하지만에 두 번째,그리고 그들은 일반적으로 사용하지 않는 별표 하지만 overline(는 물리학자에 대해 예약할균 및 Dirac spinor adjoint)을 나타내 는 복잡한 복합 번호;즉,스칼라 제품을 수학자들은 일반적으로 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle }$

반면 물리학자들은 같은 양에 대해 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle }$

참조

• 각 운동량 다이어그램(양자역학)
• n-틈새 간섭식
• 양자 상태
• 내적

References

• Dirac, P. A. M. (1939). “A new notation for quantum mechanics”. 《Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society》 35 (3): 416–418. Bibcode:1939PCPS...35..416D. doi:10.1017/S0305004100021162. 니다. 또한 자신의 표준 텍스트, 양자 역학의 원리,IV edition Clarendon Press(1958 년), ISBN 978-0198520115
• Grassmann, H. (1862). 《Extension Theory》. History of Mathematics Sources. 2000 translation by Lloyd C. Kannenberg. American Mathematical Society, London Mathematical Society. 
• Cajori, Florian (1929). 《A History Of Mathematical Notations Volume II》. Open Court Publishing. 134쪽. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• Shankar, R. (1994). 《Principles of Quantum Mechanics》 2판. ISBN 0-306-44790-8. 
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1965). 《The Feynman Lectures on Physics》 III. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-02118-8. 

[[분류:정보 이론]] [[분류:선형대수학]] [[분류:수학 표기법]] [[분류:폴 디랙]] [[분류:양자정보과학]] [[분류:양자역학]]