켤레전치

어떤 행렬의 켤레전치(conjugate transpose)는 그 행렬의 전치행렬에서 각 원소의 복소켤레를 취한 것으로 정의한다. 즉, 행렬 $A$ 의 켤레전치 $A^*$ 는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$(A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}$

혹은, $A^* = \overline{A^T}$ 으로 표기할 수도 있다.

켤레전치행렬이 원래 행렬과 같다면, 그 행렬은 에르미트 행렬이 된다. 또한, $A^* A = A A^*$ 일 경우 정규행렬이라고 부른다.

성질[편집]

차원이 같은 두 행렬 $A, B$ 에 대해, $(A+B)^* = A^* + B^*$ 가 성립한다.
복소수 $c$ 와 행렬 $A$ 에 대해, $(cA)^* = c^* A^*$ 가 성립한다.
$(AB)^* = B^* A^*$
$(A^*)^* = A$
두 복소공간 $\mathbb{C}^m$ , $\mathbb{C}^n$ 에서 정의되는 내적 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 에 대해, $\langle Ax, y\rangle = \langle x, A^*y\rangle$ 가 성립한다.