함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼(영어: spectrum)은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.
가환환
위의 (항등원을 갖는) 결합 대수
의 원소
의 분해 집합(分解集合, 영어: resolvent set)은 다음과 같은 집합이다.[1]:252, Definition 10.10
![{\displaystyle \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\in \operatorname {Unit} (A)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9058baa84a8f31af558b8692f79fdad72a0766cc)
여기서
는
의 가역원군이다. 즉,
가 가역원이 되는 스칼라
들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을
의 스펙트럼
라고 한다.[1]:252, Definition 10.10; 104, Definition 4.17(c)
![{\displaystyle \sigma (a)=R\setminus \rho (a)=\left\{\lambda \in R\colon \lambda -a\not \in \operatorname {Unit} (A)\right\}\subseteq R\qquad (a\in A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9b176ec243b30dd23d3465b68cb396e45228f4)
이 경우, 원소
를
의
에서의 분해식(分解式, 영어: resolvent)이라고 한다.
가 실수체 또는 복소수체이며,
가
-결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소
의 스펙트럼 반지름(spectrum半지름, 영어: spectral radius)은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.[1]:253, Definition 10.10
![{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\sup _{\lambda \in \sigma (a)}|\lambda |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88098e4b489f8e3b05b7c195b96b85510463ee5f)
만약
가
-바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
-바나흐 공간
위의 유계 작용소의 집합
는
-바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉,
의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.
바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉,
-바나흐 공간
위의 유계 작용소
의 스펙트럼
는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.
![{\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\text{p}}(T)\sqcup \sigma _{\text{r}}(T)\sqcup \sigma _{\text{c}}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d0098595014322d14982e052dc0a49eff5f6c58)
이 성분들은 각각
- 점 스펙트럼(點spectrum, 영어: point spectrum)
![{\displaystyle \sigma _{\text{p}}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8898ebd5faf03804b781e976140a1fa5a55a4b6)
- 잔여 스펙트럼(殘餘spectrum, 영어: residual spectrum)
![{\displaystyle \sigma _{\text{r}}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e6f0ec4d79707a08ee973f089492421a3c9a0fe)
- 연속 스펙트럼(連續spectrum, 영어: continuous spectrum)
![{\displaystyle \sigma _{\text{c}}(T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8dc5b3bd9d014290274cd0b56b543f428adbbd)
이며, 다음과 같다.
어떤 수
에 대하여
이려면
가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
가 단사 함수가 아니다. 이러한
들의 집합을 점 스펙트럼
라고 한다. 이 경우
는
의 고윳값이며,
인 고유 벡터
가 존재한다.
가 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다.
는 단사 함수이지만 그 상이 조밀 집합이 아니다. 이러한
들의 집합을 잔여 스펙트럼
라고 한다.
는 단사 함수이며 그 상이 조밀 집합이지만 전사 함수가 아니다. 이러한
들의 집합을 연속 스펙트럼
라고 한다. 이 경우,
는
의 조밀 집합
위에 정의되는, 비유계 작용소이다.
복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.[1]:253, Theorem 10.13(a)[2]:756, Theorem 1
증명:[2]
복소수 바나흐 대수
의 원소
가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여
이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간
의 임의의 원소
를 고르자.
그렇다면, 이제 함수
![{\displaystyle h\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea2337f6e9a0ebfdc881261eafc852bc797a26a8)
![{\displaystyle h\colon r\mapsto \int _{0}^{2\mathrm {\pi } }f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44df96ab64f3b3c78d0872c08b513cfbef3f1b6)
를 정의하자. 그렇다면,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} r}}&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial r}}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }f(a(r^{2}\exp(2\mathrm {i} \theta ))\mathrm {i} r\exp(\mathrm {i} \theta )\mathrm {d} \theta \\&={\frac {1}{\mathrm {i} r}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ae1027bd4a6c0bbe9a4c76e9d5e6ea7dd6c5d8)
이다. (이는 피적분 함수가
이므로 가능하다.) 즉,
는 상수 함수이며, 그 값은
![{\displaystyle \lim _{r\to 0}h(r)=-2\pi f(a^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110494197119d3d300c8e7e57f5200f89c3149c8)
이다.
이제, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle 2\pi |f(a^{-1})|=|h(r)|\leq \int _{0}^{2\pi }|f\left((r\exp(\mathrm {i} \theta )-a)^{-1}\right)\mathrm {d} \theta \leq 2\pi {\frac {\|f\|}{r-\|a\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284792b51907c6b6874408cfef2e94e568be39f4)
가 되므로, 사실
이어야만 한다. 즉, 임의의
에 대하여
이어야만 한다. 그런데
이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.
복소수 바나흐 대수
의 원소
의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식(영어: Gelfand formula)에 의하여 주어진다.[3]:195–197
![{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (a)=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\|a^{n}\|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d4f000699693f8238f00ffe9844338c87e72aa)
(반면, 유한 또는 무한 차원 실수 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 공집합일 수 있다.)
에 대하여,
-바나흐 공간 위의 유계 작용소
의 스펙트럼은 항상
속의 콤팩트 집합이다.[1]:253, Theorem 10.13(a) 특히
![{\displaystyle |\lambda |\leq \|T\|\qquad (\forall \lambda \in \sigma (T))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8140bc6607025657c492a3521095ab9c86ce0c)
이다. 여기서
는 작용소 노름이다.
가 유한 차원
-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면,
-선형 변환
가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원
-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.
특히, 선형 변환
(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.
복소수 바나흐 공간
위의 콤팩트 작용소
의 경우, 다음이 성립한다.
- 연속 스펙트럼은 항상 공집합 또는
이다.
- 잔여 스펙트럼은 항상 공집합 또는
이다.
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.
복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.
복소수 힐베르트 공간
위의 정규 작용소
의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {spec\,rad} (T)=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {|\langle v,Tv\rangle |}{\langle v,v\rangle }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3c63799e023611f6eda74b8280fbaa69d01d1a)
보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 수치 반지름(數値半지름, 영어: numerical radius)이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, 영어: spectraloid operator)라고 한다.
-바나흐 대수
의 원소
및
에 대하여, 만약
라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, 영어: Neumann series)가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.[1]:250, Chapter 10
![{\displaystyle {\frac {1}{z-a}}={\frac {1}{z}}\sum _{n=0}^{\infty }(a/z)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92e6432967cb2c0453e2f80408ccb915be53f7a7)
실수 행렬
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39de50be288a3d52f7bc6dda6dcae68243db84b8)
는
위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는
위의 작용소로서 점 스펙트럼
를 갖는다.
복소수 힐베르트 공간
를 생각하자. 그렇다면 사상
![{\displaystyle T\colon (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b784288895870ed601a8bc3a4993e599a8e6ce6)
은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다.
는 고윳값을 가지지 않지만,
는 전사 함수가 아니므로
의 스펙트럼은
이다. 이 경우,
의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.
임의의
에 대하여, 측도 공간
위의 르베그 공간
![{\displaystyle V=\operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43419b4709bd41822bcbb80d92406d46582362d8)
는
-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수
![{\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd5f39da3f6f1bbd1796873db9921f00cfb4bee)
의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합
에 대하여
의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서
는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
![{\displaystyle T_{f}\colon V\to V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279ae93617f1ee4e40ae8d84a3bd8209e16a035d)
![{\displaystyle T_{f}\colon g\mapsto fg}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcee13ebddd06e5dfae83afe0a7709c4456c3622)
는
-유계 작용소이다.
이제, 집합
![{\displaystyle \operatorname {ess\,ran} f\subseteq \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1cb18640c5f48dc9ee7cddfac45772fecfb8c2f)
를 다음과 같이 정의하자.
![{\displaystyle \lambda \in \operatorname {ess\,ran} f{\overset {\text{def}}{\iff }}\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\colon \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07b350e60c83ed6c0f7093f01a9ec86d91406f9)
그렇다면,
이다.
증명 (
):
임의의
가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라
![{\displaystyle \mu \left(f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,\epsilon ))\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d66b92ec2205c00244cceaecf03231e88d2eda4)
인 양의 실수
이 존재한다.
그렇다면, 가측 함수
![{\displaystyle g\colon (X,\Sigma )\to (\mathbb {K} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {K} ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96fb8185733827fa5f2396cf021bb6d2141fae89)
![{\displaystyle g\colon x\mapsto {\frac {1}{\lambda -f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f438fb7ea821e583cacd30acfed21cffebe641b)
를 생각하자. 그렇다면,
![{\displaystyle T_{g}\circ (\lambda -T_{f})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c58b10aa86351f9b4a1c8e533368509ceef679)
이다. 따라서
이다.
증명 (
,
):
임의의
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
![{\displaystyle g_{n}={\frac {1}{{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}^{1/p}}}\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41d105d2a89c1def10188e9ea7c5cb42888fbd0)
을 정의하자. (여기서
는 지시 함수이다.)
그렇다면,
![{\displaystyle \left(\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}\right)^{p}={\frac {1}{\mu \left(f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)}}\int _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}|\lambda -f|^{p}\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021a5e9f974f1cd2fee3427b6b5ba838b30da4cb)
이므로, 특히
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{p}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c1a85a747f07b31124c13494d1e88ba2a17c7c)
이다. 이에 따라,
의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
증명 (
,
):
임의의
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
![{\displaystyle g_{n}=\chi _{f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)}\in \operatorname {L} ^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3831a5f1a7f73289180fcaceed1716a8f4f32a36)
을 정의하자. (여기서
는 지시 함수이다.)
그렇다면,
![{\displaystyle \|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=\operatorname {ess\,sup} \left(|\lambda -f|\upharpoonright f^{-1}\left(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n)\right)\right)\leq 1/n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159dd4c9dc6624fb0a7b9c923b4b0f6d3a1a8a82)
이므로, 특히
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|(\lambda -T_{f})g_{n}\|_{\operatorname {L} ^{\infty }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f400fb6c4d4e075fb14911270eaaabdc02a106c)
이다. 이에 따라,
의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
- 임의의
에 대하여, 만약
이라면,
이며, 만약 그렇지 않다면
이다. 특히,
는 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다.
증명 (
):
지시 함수
는
의 고유 벡터이다.
증명 (
):
임의의
![{\displaystyle g\in \operatorname {L} ^{p}(X,\Sigma ,\mu ;\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48dadd2d8bc6f9ca6478c7c4b34697039ea87a1)
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.
![{\displaystyle h_{n}={\frac {g}{\lambda -f}}\chi _{X\setminus f^{-1}(\operatorname {ball} _{\mathbb {K} }(\lambda ,1/n))}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f0c02d9a53b290f06a927e1b31c9d7442cbf5b)
여기서
는 지시 함수이다.
그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라
![{\displaystyle (\lambda -T_{f})h_{n}\,{\overset {\operatorname {L} ^{p}}{\to }}\,g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcc4047fc75b730d62deca9049063dc0e4c9c7b)
이다. 즉,
의 상은 항상 조밀 집합이다.
가환환
를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소
의 스펙트럼은
![{\displaystyle \sigma (r)=R\setminus (r+\operatorname {Unit} (R))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5262c341b6548deba4af9b7f6e0faf7783a8d06)
이다. (여기서
는 가역원군이다.)
사원수 대수
는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수
의 스펙트럼은 다음과 같다.
![{\displaystyle \sigma (a;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{a\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c0e9f0230217e4993b18347482cdc01bd304ef)
(특히, 만약
이라면
이다.)
마찬가지로, 복소수체
를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때,
의 스펙트럼은 다음과 같다.
![{\displaystyle \sigma (z;\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cap \{z\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd6eb0c0f52b7046606d1b6660a9e60ca0c0d6d)
(특히, 만약
이라면
이다.) 물론,
를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때,
이다.
콤팩트 하우스도르프 공간
위의
-바나흐 대수
의 원소
의 스펙트럼은 그 상이다.
![{\displaystyle \sigma (f)=\{f(x)\colon x\in X\}\subseteq \mathbb {K} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168b9384b7a4b52fc525f701823a502c07ac8440)
유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.[4]
"스펙트럼"(독일어: Spektrum 슈펙트룸[*])과 "분해식"(독일어: Resolvente 레졸벤테[*])이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.
양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간
![{\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {L}}^{2}(\mathbb {R} ;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae12bde03d9173e530e77b6641f5ee6f15b2872)
위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜
![{\displaystyle V\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84d92bd4b8e5a1f1602cc8f3cec9f24bf3212512)
이 주어졌으며,
![{\displaystyle \inf _{x\in \mathbb {R} }V(x)>\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f258f324ca88700650389c7700c1b02c1504c5b6)
이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
![{\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+V(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c7c4f06aad5f16451f2c8288c5227000b3742e)
를
의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
![{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} ,\;\Re (\alpha )\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3825bea2338426ca41a37dd4cb283486a0d54a5)
에 대하여 유계 작용소
![{\displaystyle \exp(\alpha H)\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7504c29555b32d157fe6006daaf8aa48afa717b2)
를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
![{\displaystyle \sigma (\exp(\alpha H))=\{\exp(\alpha E)\colon E\in \mathbb {R} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e2159932dfdcde7e5e79b3646d10aad3e143f0)
의 꼴이다. 이에 따라,
를
의 스펙트럼으로 여길 수 있다.
의 경우,
의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.