보편 대수학에서 대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 어떤 항등식들을 만족시키는 대수 구조들의 모임이다.
주어진 형
의 대수 구조들의 모임
에 대하여, 다음 두 성질이 서로 동치이다.
는 다음 세 연산에 대하여 닫혀 있다.
- 준동형에 대한 상. 즉,
이고 준동형
이 존재한다면,
이다.
- 곱 대수. 즉,
가 부분 집합이라면,
이다. (만약
일 경우,
은 하나의 원소를 가진 자명 대수
이다.)
- 부분 대수. 즉,
이고
가 부분 대수라면,
이다.
는 일련의 항등식
들을 만족시키는 모든 대수 구조들의 모임이다. 여기서 항등식이란
![{\displaystyle \forall x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}\in A\colon f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=g(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d38c0ad5183cef3a0c8619ea30a2927af7ca6691)
- 꼴의 조건이며,
는
에 속한 연산들 및 변수
만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이며,
는
에 속한 연산들 및 변수
만을 사용하는 (유한한 길이의) 식이다.
대수 구조 다양체(영어: variety of algebraic structures)는 위 조건을 만족시키는, 대수 구조의 집합이다. 위 두 조건이 서로 동치라는 사실은 버코프 준동형사상-곱-부분대수 정리(영어: Birkhoff’s HPS theorem)라고 하며, 개릿 버코프가 증명하였다.
대수 구조 다양체를 형
와 항등식 집합
의 순서쌍으로 적자. 두 대수 구조 다양체
,
사이의 준동형
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각
항 연산
에 대하여,
의 연산들의 합성으로 정의할 수 있는 연산 ![{\displaystyle \phi (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23781b983d21d78467b65e7e32b9e7bc05d625f8)
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
- 모든 항등식
에 대하여,
에 등장하는 각 연산
를
로 대응시킨 항등식은
으로부터 함의된다.
이에 따라, 대수 구조 다양체들의 모임은 범주를 이룬다.
같은 연산들을 갖는 두 다양체의 교모임 역시 다양체를 이룬다.
대수 구조 다양체는 준동형을 사상으로 하는 구체적 범주를 이룬다. 범주론적으로, 모든 대수 구조 다양체는 로비어 이론(영어: Lawvere theory)
로부터 집합의 범주
로 가는, 곱을 보존하는 함자들의 범주
와 동치이다.[1]
모든 대수 구조 다양체는 다음 성질을 만족시킨다.
- 항상 자유 대수가 존재한다. 즉, 대수 구조 다양체
의 망각 함자
의 왼쪽 수반 함자
,
가 존재한다.
- 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 극한과 쌍대극한이 존재한다. 이 경우 쌍대극한을 귀납적 극한, 극한을 사영 극한이라고 한다.
집합의 다양체[편집]
집합의 모임
은 아무런 연산 및 항등식을 갖지 않는 다양체이다. 점 갖춘 집합의 모임
은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 영항연산
![{\displaystyle \bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3576c2406959ee194a6fc55c34b5ee9f6ffbb715)
- 항등식: 없음
크기가 1 이하인 집합들의 다양체는 다음과 같다.
- 연산: 없음
- 항등식:
![{\displaystyle x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409a91214d63eabe46ec10ff3cbba689ab687366)
크기가 1인 집합들의 다양체는 다음과 같다.
- 연산: 영항연산
![{\displaystyle \bullet }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3576c2406959ee194a6fc55c34b5ee9f6ffbb715)
- 항등식:
![{\displaystyle x=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409a91214d63eabe46ec10ff3cbba689ab687366)
유한 집합들의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 이는 유한성은 항등식으로 나타낼 수 없으며, 또한 무한 개의 유한 집합의 곱집합은 유한 집합이 아니기 때문이다.
군
가 주어졌을 때,
의 작용을 갖춘 집합들의 모임
는 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 각
에 대하여, 일항연산 ![{\displaystyle g\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfc841f59747c4900814b16684f999e3b4a70a3e)
- 항등식:
- 모든
에 대하여, ![{\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb96ae21d162c2bf2a705bfc70b98e8b732580f)
![{\displaystyle 1\cdot x=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a768213d5d610701295b0387f4b80c1bcf070176)
군의 다양체[편집]
군의 모임
은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 이항연산
, 일항연산
, 영항연산 ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
- 항등식:
,
,
,
, ![{\displaystyle x\cdot 1=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f32d3aa48ec6fa10f6432548640b212bbc2ad281)
아벨 군의 모임
은 군의 다양체의 부분다양체이며, 다음과 같은 항등식이 추가된다.
- 항등식:
![{\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310a59fb178014c0bafca46243fa280d7838a673)
이 밖에도,
의 부분다양체들은 다음을 들 수 있다.
-번사이드 군: 모든 원소의 차수가
의 약수인 군.
- 유도 길이가
이하인 가해군
. 예를 들어,
이며,
를 정의하는 항등식은
이다.
- 중심 길이가
이하인 멱영군
(
인 군
)
환의 다양체[편집]
유사환의 모임
은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 이항연산
및
, 일항연산
, 영항연산 ![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
- 항등식: (유사환의 정의)
가환 유사환의 모임
은
의 부분다양체이다.
환의 모임
은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산:
의 연산 및 영항연산 ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
- 항등식:
의 항등식 및 ![{\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8a9fb8ce67289ee97b8d49fa2a7ff640d8cedb)
가환환의 모임
은
의 부분다양체이다.
이 밖에도, 임의의 음이 아닌 정수
에 대하여, 표수가
의 약수인 환들의 모임은 다양체를 이룬다.
체의 모임은 다양체를 이루지 않는다. 체의 곱셈 역원
은 0에 대하여 정의되지 않으며, 이 연산을 무시하고 체를 단순히
의 부분 모임으로 본다면, 체의 모임은 곱 대수 및 부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않다. 다만,
으로 정의한다면, 체의 모임은 가환 폰 노이만 정규환(영어: commutative von Neumann-regular ring)의 다양체의 부분 모임이며, 이는 체들을 포함하는 가장 작은 다양체이다.[2] 가환 폰 노이만 정규환의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산:
의 연산 및 일항연산 ![{\displaystyle ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21ba9ae71e157827da571c142bb49c24b78e1a0)
- 항등식:
의 항등식 및
, ![{\displaystyle x^{-1}xx^{-1}=x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb60502f7175a32b0a1620e4d6f51890cf14f6d8)
이 경우, 항등식들에 따라 항상
이 된다.
격자의 다양체[편집]
격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 이항연산
및 ![{\displaystyle \wedge }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1caa4004cb216ef2930bb12fe805a76870caed94)
- 항등식:
- (교환 법칙)
, ![{\displaystyle a\wedge b=b\wedge a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd83ca787da3acfcd037d77bb39bce5e6ae76b9c)
- (결합 법칙)
, ![{\displaystyle (a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dedb065fae133e2e6a778feb27ad4799dbb028b)
- (흡수 법칙)
![{\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a\wedge (a\vee b)=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7977e90e26929eeb6c9d4171e3b6d3aa96b5f565)
모듈러 격자의 모임은 격자의 다양체의 부분다양체를 이루며, 분배 격자의 모임은 모듈러 격자의 다양체의 부분다양체를 이룬다.
유계 격자의 모임은 다음과 같은 다양체이다.
- 연산: 격자의 연산 및 영항연산
및 ![{\displaystyle \top }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf12e436fef2365e76fcb1034a51179d8328bb33)
- 항등식: 격자의 항등식 및
, ![{\displaystyle a\wedge \top =a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/583e0fd7aab54ce7497b3a3a125df149e0076b33)
헤이팅 대수의 모임과 불 대수의 모임 역시 다양체를 이룬다.
완비 격자의 모임은 다양체를 이루지 않는데, 이는 완비 격자를 공리화하려면 무한항 연산(무한 개의 원소들의 만남·이음)이 필요하기 때문이다.
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