SU(2)의 표현론

리 군의 표현론 연구에서 특수 유니터리 군 $\mathrm {SU} (2)$의 표현에 대한 연구는 반단순 리 군의 표현 연구에 기본이다. 콤팩트 군이자 비가환 군인 리 군의 첫 번째 사례이다. 첫 번째 조건은 표현론이 이산적이라는 것을 의미한다. 표현은 기본적 기약 표현 모음의 직합이다(페터-바일 정리에 의해 지배됨). 두 번째는 1보다 큰 차원에서 기약 표현이 있음을 의미한다.

$\mathrm {SU} (2)$는 $\mathrm {SO} (3)$의 보편 덮개 군이므로 그 표현론은 전사 준동형사상에 따라 후자의 표현론을 포함한다. 이는 이론물리학에서 비상대론적 스핀을 설명하기 위한 $\mathrm {SU} (2)$의 중요성에 기초한다. 다른 물리적, 역사적 맥락은 아래 참조.

아래에 표시된 것처럼 $\mathrm {SU} (2)$의 $m+1$차원 기약 표현은 음이 아닌 정수 $m$으로 아래첨자를 붙인다. 물리학 문헌에서 표현은 $l=m/2$으로 아래첨자를 붙인다. 여기서 $l$는 정수이거나 반정수이고 $2l+1$ 차원이다.

리 대수 표현

군의 표현은 $\mathrm {SU} (2)$의 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$의 표현을 고려하여 찾는다. 군 $\mathrm {SU} (2)$는 단일 연결되어 있으므로 해당 리 대수의 모든 표현은 군 표현으로 통합될 수 있다. 우리는 아래 군 수준에서 표현의 명시적인 구성을 제공할 것이다.

실수 리 대수와 복소화된 리 대수

실수 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$에서 다음과 같은 기저가 있다.

$u_{1}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}},\qquad u_{2}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&~~0\end{bmatrix}},\qquad u_{3}={\begin{bmatrix}i&~~0\\0&-i\end{bmatrix}}~,$

(이 기저 행렬들은 $u_{1}=+i\ \sigma _{1}\;,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}\;,$ $u_{3}=+i\ \sigma _{3}$과 같이 파울리 행렬과 관련된다. )

이 행렬들은 사원수를 표현한다.

$u_{1}\,u_{1}=-I\,,~~\quad u_{2}\,u_{2}=-I\,,~~\quad u_{3}\,u_{3}=-I\,,$

$u_{1}\,u_{2}=+u_{3}\,,\quad u_{2}\,u_{3}=+u_{1}\,,\quad u_{3}\,u_{1}=+u_{2}\,,$

$u_{2}\,u_{1}=-u_{3}\,,\quad u_{3}\,u_{2}=-u_{1}\,,\quad u_{1}\,u_{3}=-u_{2}~.$

여기서 I는 일반적인 2×2 단위 행렬이다. $~~I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~.$

결과적으로, 행렬의 교환자는 다음을 충족한다.

$[u_{1},u_{2}]=2u_{3}\,,\quad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}\,,\quad [u_{3},u_{1}]=2u_{2}~.$

그런 다음 복소화된 리 대수로 전달하는 것이 편리하다.

$\mathrm {su} (2)+i\,\mathrm {su} (2)=\mathrm {sl} (2;\mathbb {C} )~.$

(대각합 0인 반 자기 수반 행렬과 대각합 0인 자기 수반 행렬은 모든 행렬에 대각합 0을 제공한다.) $\mathbb {C}$ 위에서 표현을 다루는 한, 실수에서 복소화된 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$로 가는 것은 적절하다. 복소화로 넘어가는 이유는 실수 리 대수에는 존재하지 않는 유형의 좋은 기저를 구성할 수 있게 해주기 때문이다.

복소화 된 리 대수는 다음과 같은 세 가지 원소 $X$, $Y$, $H$로 구성된다.

$H={\frac {1}{i}}u_{3},\qquad X={\frac {1}{2i}}\left(u_{1}-iu_{2}\right),\qquad Y={\frac {1}{2i}}(u_{1}+iu_{2})~;$

또는 명시적으로,

$H={\begin{bmatrix}1&~~0\\0&-1\end{bmatrix}},\qquad X={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},\qquad Y={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}}~.$

군의 곱셈표의 자명하지 않거나 동일하지 않은 부분은 다음과 같다.

$H\,X~=~~~~X,\qquad H\,Y~=-Y,\qquad X\,Y~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I+H\right),$

$X\,H~=-X,\qquad Y\,H~=~~~~Y,\qquad Y\,X~=~{\tfrac {1}{2}}\left(I-H\right),$

$H\,H~=~~~I~,\qquad X\,X~=~~~~O,\qquad Y\,Y~=~~O~~;$

여기서 O는 2×2 영행렬이다. 따라서 이들의 교환자는 다음과 같다.

$[H,X]=2\,X\,,\qquad [H,Y]=-2\,Y\,,\qquad [X,Y]=H~.$

원소 $H$, $X$, $Y$는 인수 2와 함께 각각 각운동량 연산자 $J_{z}$, $J_{+}$, $J_{-}$로 식별될 수 있다. 인수 2는 수학과 물리학에서 관례가 서로 달라서 들어갔다. 앞으로 결과에서는 두 가지 관례 모두에 대하여 적을 것이다.

가중치와 표현의 구조

이 설정에서 $H$의 고유값은 표현의 가중치라고 한다. 다음 기본 결과가 분석의 핵심 단계이다. $v$가 $H$의 고유값 $\alpha$에 대한 고유벡터라고 하자. 즉, $\;H\,v=\alpha \,v~.$ 그러면

${\begin{aligned}H\,(X\,v)~=~(\,X\,H+[H,X]\,)\,v~&=~(\alpha +2)\,X\,v\;,\\[3pt]H\,(Y\,v)~=~(\,Y\,H+\,[H,Y]\,)\,v~&=~(\alpha -2)\,Y\,v~.\end{aligned}}$

다시 말해서, $\,X\,v\,$는 영벡터이거나 $\,H\,$의 고유값 $\,\alpha +2\,$에 대한 고유벡터이다. 그리고 $\,Y\,v\,$는 0이거나 $\,H\,$의 고유값 $\alpha -2$에 대한 고유벡터이다. 따라서 연산자 $\,X\,$는 상승 연산자 역할을 하며 가중치를 2만큼 증가시킨다. $\,Y\,$는 하강 연산자 역할을 한다.

이제 $\,V\,$를 복소화된 리 대수의 기약 유한차원 표현이라고 하자. 그러면 $\,H\,$의 고유값 집합은 유한 집합이다. 따라서, $\,\lambda +2\,$는 더 이상 고유값이 아닌 마지막 고유값 $\;\lambda \in \mathbb {C} \;$이 있어야 한다. $\,v_{0}\,$가 $\,H\,$의 그 고유값 $\lambda$에 대한 고유벡터라 하자.

$H\,v_{0}=\lambda \,v_{0}\;,$

그러면

$X\,v_{0}=0\;,$

이 성립하거나, 그렇지 않으면 위의 항등식이 $\,X\,v_{0}\,$가 고유값 $\lambda +2$을 갖는 고유벡터임을 말한다.

이제 벡터들 $v_{0},v_{1},\ldots$의 "사슬"을

$v_{k}=Y^{k}\,v_{0}$

로 정의하자.

간단한 귀납법에 의해 모든 $k=1,2,\ldots ~.$에 대해

$X\,v_{k}=k\,(\lambda -(k-1))\,v_{k-1}$

임을 보일 수 있다. 이제 $\,v_{k}\,$가 영벡터가 아니면, $H$의 고유값 $\lambda -2k$에 대한 고유벡터이다. 다시 말하지만, $\,H\,$는 고유벡터를 유한개 가지므로 $\,v_{\ell }\,$는 어떤 $\,\ell \,$에 대해 0이어야 한다.(그러면 모든 $\,k>\ell \,$에 대해$v_{k}=0$ ).

$v_{m}$가 사슬의 0이 아닌 마지막 벡터라 하자. 즉,$\;v_{m}\neq 0\;$이고 $\;v_{m+1}=0~.$ 그럼 당연히 $\;X\,v_{m+1}=0\;$이고, 위의 항등식에 의해 $k=m+1\;,$

$\;0=X\,v_{m+1}=(m+1)\,(\lambda -m)\,v_{m}~.$

$\,m+1\,$은 적어도 1이고 $\,v_{m}\neq 0$이므로, $\,\lambda \,$ 음이 아닌 정수 $\,m$와 같아야 한다.

따라서 $\,Y\,$가

$Y\,v_{m}=0,\quad Y\,v_{k}=v_{k+1}\quad (k<m)$

로 작용하는 $\,m+1\,$개 벡터들, $v_{0},v_{1},\ldots ,v_{m}$의 사슬을 얻는다.

그리고 $\,X\,$는

$X\,v_{0}=0,\quad X\,v_{k}=k\,(m-(k-1))\,v_{k-1}\quad (k\geq 1)$

로 작용한다.

그리고 $\,H\,$는

$H\,v_{k}=(m-2k)\,v_{k}~.$ .

로 작용한다.($\lambda$를 위의 공식에서 현재 알려진 값 $\,m\,$으로 바꿈)

벡터 $\,v_{k}\,$는 각각 $H$의 서로 다른 고유값에 대한 고유벡터이므로, 선형 독립이어야 한다. 게다가, $\;v_{0},\ldots ,v_{m}\;$로 생성된 집합은 복소화된 리 대수의 작용 하에서는 분명히 불변이다. $V$가 기약이라고 가정했으므로, 이 생성된 집합은 $V$와 같아야 한다. 그리하여 기약 표현이 어떤 모습이어야 하는지에 대한 완전한 설명을 얻게 된다. 즉, 공간의 기저이자 리 대수의 생성자들이 어떻게 작용하는지에 대한 완전한 설명이다. 반대로 임의의 $\;m\geq 0\;$인 경우에는 위의 공식을 사용하고 교환 관계가 유지되는지 확인함으로써 표현을 구성할 수 있다. 그러면 이 표현은 기약으로 나타낼 수 있다.

결론: 음이 아닌 정수 $m$ 각각에 대해 최대 가중치 $m$을 갖는 유일한 기약 표현이 있다. 각각의 기약 표현은 이들 중 하나와 동일하다. 최대 가중치$\,m\,$인 표현은 $\,m+1\,$차원이고 중복도 1인 가중치들 $m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m$을 갖는다.

카시미르 원소

이제 (2차) 카시미르 원소 $C$를 소개한다.

$C=-\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}\right)$

$C$를 보편 포락 대수의 원소 또는 각 기약 표현의 연산자로 볼 수 있다. $\,C\,$를 가장 높은 가중치 $\,m\,$를 갖는 표현에 대한 연산자로서 보면, $\,C\,$는 각 $u_{i}$와 교환한다는 것을 쉽게 계산할 수 있다. 따라서 슈어 보조 정리에 따르면, $\,C\,$는 각 $m$에 대한 항등식의 스칼라 배 $c_{m}$로 작용한다. $C$를 기저 $\,\{H,X,Y\}\,$를 통해 쓸 수 있다:

$C=(X+Y)^{2}-(-X+Y)^{2}+H^{2}\;,$

이는 다음과 같이 줄일 수 있다.

$C=4YX+H^{2}+2H~.$

가장 높은 가중치 $\,m\,$을 가진 표현에서 $\,C\,$의 고유값은 $\,C\,$를 가장 높은 가중치 벡터에 적용하여 계산할 수 있다. 이는 $X$에 의해 소멸된다. 따라서

$c_{m}=m^{2}+2m=m(m+2)~.$

물리학 문헌에서 카시미르 원소는 ${\textstyle \;C'={\frac {1}{4}}}$과 같이 정규화된다. ${\textstyle \;\ell ={\frac {1}{2}}\,m}$로 첨자를 붙이면 $\,C'\,$의 고유값 $\,d_{\ell }\,$는 다음과 같이 계산된다.

$d_{\ell }={\frac {1}{4}}\,(2\ell )\,(2\ell +2)=\ell \,(\ell +1)~.$

군 표현

다항식에 대한 조치

$\mathrm {SU} (2)$는 단일 연결이기 때문에 일반적인 결과는 $\mathrm {SU} (2)$ 자체의 (복소화된) 리 대수의 모든 표현이 $\mathrm {SU} (2)$ 자체의 표현을 발생시킨다는 것을 보여준다. 그러나 군 수준에서 표현을 명시적으로 구현하는 것이 바람직하다. 군 표현은 두 개의 복소수 변수의 다항식 공간에서 실현될 수 있다. 음이 아닌 각 정수 $m$에 대해, $V_{m}$를 복소 이변수 $m$차 동차 다항식 $p$의 공간이라 하자. 그러면 $V_{m}$의 차원은 $m+1$이다. 다음과 같이 각각 $V_{m}$에 대한 $\mathrm {SU} (2)$의 자연스러운 작용이 있다:

$[U\cdot p](z)=p\left(U^{-1}z\right),\quad z\in \mathbb {C} ^{2},\,U\in \mathrm {SU} (2)$ .

관련된 리 대수 표현은 단순히 이전 절에서 설명한 것이다. (다항식 공간에 대한 리 대수의 작용에 대한 명시적인 공식은 여기 참조.)

특성

표현 $\Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$의 특성은 함수 $\mathrm {X} :G\rightarrow \mathbb {C}$

$\mathrm {X} (g)=\operatorname {trace} (\Pi (g))$

이다.

특성은 콤팩트 군 표현에서 중요한 역할을 한다. 특성은 클래스 함수, 즉 켤레 불변인 것으로 쉽게 볼 수 있다.

$\mathrm {SU} (2)$의 경우 특성이 클래스 함수라는 사실은 문자가 극대 원환면 $T$의 값에 의해 결정됨을 의미한다. 원소는 스펙트럼 정리에 따라 직교 대각선화 가능하므로 $\mathrm {SU} (2)$의 대각 행렬로 구성된다. 가장 높은 가중치 $m$를 갖는 기약 표현은 가중치 $m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m$를 갖기 때문에, 연관된 특성이

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.$

을 만족함을 쉽게 알 수 있다. 이 표현식은 다음과 같이 단순화할 수 있는 유한 기하 급수이다.

$\mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.$

이 마지막 표현은 $\mathrm {SU} (2)$에 대한 바일 지표 공식의 설명일 뿐이다.

실제로, 콤팩트 군의 표현론에 대한 바일의 원래 분석에 따라 리 대수 표현을 전혀 사용하지 않고도 군 관점에서 표현을 완전히 분류할 수 있다. 이 접근 방식에서 바일 지표 공식은 페터-바일 정리와 함께 분류에서 필수적인 역할을 한다. 이 이야기의 $\mathrm {SU} (2)$ 사례는 여기에 설명되어 있다.

SO(3) 표현과의 관계

표현의 모든 가중치가 짝수(만약 $m$ 짝수) 또는 모든 가중치가 홀수($m$이 홀수인 경우)이다. 물리적 측면에서 이러한 구별은 중요하다. 짝수 가중치 표현은 회전 군 SO(3)의 일반적인 표현에 해당한다. 대조적으로, 홀수 가중치를 갖는 표현은 사영 표현이라고도 알려진 SO(3)의 이중 값(스피너) 표현에 해당한다.

물리학의 관례에서는 $m$이 짝수임은 $l$이 정수임을 뜻하고 $m$이 홀수임은 $l$ 반정수임에 해당한다. 이 두 가지 경우는 각각 정수 스핀과 반정수 스핀으로 설명된다. 홀수 양의 값 $m$을 갖는 표현은 $\mathrm {SU} (2)$를 충실하게 표현하는 반면, 음수가 아닌 $m$ $\mathrm {SU} (2)$의 표현은 충실하지 않다.

또 다른 접근법

Borel–Weil–Bott 정리의 예를 참조.

가장 중요한 기약 표현과 그 응용

$\mathrm {SU} (2)$의 표현은 유클리드 3공간의 회전 군을 이중으로 덮기 때문에 비상대론적 스핀을 설명한다. 상대론적 스핀은 회전 군의 상대론적 버전인 SO ⁺ (1;3)을 유사한 방식으로 다루는 $\mathrm {SU} (2)$의 초군인 SL₂(C)의 표현론으로 설명된다. $\mathrm {SU} (2)$ 대칭은 또한 아이소스핀 과 약한 아이소스핀 (총칭하여 아이소스핀 )의 개념을 지원한다.

$m=1$ (즉, 물리학 관례에서 $l=1/2$) 표현은 $\mathrm {SU} (2)$의 기본 표현인 2 표현이다. $\mathrm {SU} (2)$의 원소가 복소수 2 × 2 행렬로 작성되면 이는 단순히 열 2-벡터 의 곱셈이다. 물리학에서는 스핀-½로 알려져 있으며, 역사적으로는 사원수의 곱셈(보다 정확하게는 단위 쿼터니언의 곱셈)으로 알려져 있다. 이 표현은 회전 군 SO(3)의 이중 값 사영 표현으로 볼 수도 있다.

$m=2$ (즉, $l=1$ )표현은 3 표현, 딸림표현이다. SO(3)의 표준 표현인 3차원 회전을 설명하므로 실수 만으로도 충분하다. 물리학자들은 벡터 중간자와 같은 거대한 스핀-1 입자를 설명하기 위해 이를 사용하지만, 스핀 상태를 물리적 3-공간의 기하학에 고정시키기 때문에 스핀 이론에 대한 중요성은 훨씬 더 높다. 이 표현은 윌리엄 로언 해밀턴이 $\mathrm {SU} (2)$의 원소에 대한 그의 용어인 versors를 도입했을 때 2와 동시에 나타났다. 해밀턴의 작업이 리 군의 등장보다 앞서기 때문에 표준 군론 용어를 사용하지 않는다.

$m=3$ (즉 $l=3/2$ ) 표현은 델타 중입자 Δ와 같은 특정 중입자에 대한 입자 물리학에서 사용된다.

같이 보기

• 회전 연산자(벡터 공간)
• 회전 연산자(양자역학)
• SO(3)의 표현론
• SO(3)와 SU(2)의 연결
• SL(2, R)의 표현론
• 약-전기 상호작용
• 회전 군 SO(3) § 리 대수에 대한 참고 사항

참고 자료

• Hall, Brian C. (2015), 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》, Graduate Texts in Mathematics 222 2판, Springer, ISBN 978-3319134666 
• Gerard 't Hooft (2007), Lie groups in Physics, Chapter 5 "Ladder operators"
• Iachello, Francesco (2006), 《Lie Algebras and Applications》, Lecture Notes in Physics 708, Springer, ISBN 3540362363