보렐-베유-보트 정리

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리 군 이론에서, 보렐-베유-보트 정리(영어: Borel–Weil–Bott theorem)는 반단순 리 군기약 표현을 어떤 복소수 선다발층 코호몰로지 군으로 나타내는 정리이다.

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 복소수 반단순 리 군
  • 극대 원환면
  • 보렐 부분군
  • 의 멱일 근기 . 특히 이다.
  • 정수 무게 . 즉, 군 표현 .

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

  • 사영 사상 을 통한 군 표현
  • -주다발 에 대한, 연관 벡터 다발 . 이는 복소수 선다발이다.
  • 계수의 층 코호몰로지. 이는 각 자연수 에 대한 복소수 벡터 공간이다.
  • 또한, 위에 (왼쪽에서) 작용하므로, 는 층 코호몰로지 군 위에 작용한다. 즉, 층 코호몰로지 군들은 군 대수 왼쪽 가군을 이룬다.

또한, 다음을 정의할 수 있다.

  • 의 모든 양근들의 합 ×½이라고 하자.
  • 정수 무게 바일 군 의 임의의 원소 에 대하여, 작용 . 이에 따라 바일 군정수 무게 격자 위의 왼쪽 군의 작용을 갖는다.
  • 콕서터 군의 원소에 대한 길이 함수이다.

이제, 다음과 같은 두 가지 경우 가운데 하나가 성립한다.

  1. 바일 군 작용에 대한, 안정자군자명군이 아니다 (). 이는 임의의 에 대하여 가 항상 우세 무게가 아닌 것과 동치이다. 이는 또한 어떤 양근 에 대하여 인 것과 동치이다.
  2. 우세 무게가 되는 바일 군 원소 가 유일하게 존재한다. 이를 라고 하자. 또한, 우세 무게 에 대응하는 기약 표현라고 하자.

그렇다면, 각 경우에 대하여 보렐-베유-보트 정리에 따르면 층 코호몰로지 군 는 다음과 같다.

특히, 이미 우세 무게인 경우, 항상 경우 2가 성립하며, 이자 이다. 이 경우를 보렐-베유 정리라고 한다.

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다음과 같은 경우를 생각하자.

  • (2×2 복소수 특수 선형군)
  • (상삼각 행렬로 구성된 부분군)
  • (리만 구)
  • 정수 무게 . 이는 정수 에 대하여 , 으로 주어진다.
  • 선다발 리만 구표준 선다발의 거듭제곱 이다.
  • 의 근계는 1차원이며, 하나의 양근 2를 갖는다. 즉 이다.

이에 따라, 보렐-베유-보트 정리에 의하면

는 표준 (2차원) 표현의 차 대칭 거듭제곱이다.

역사[편집]

아르망 보렐앙드레 베유우세 무게에 대한 경우(즉, 0차 층 코호몰로지에 대응하는 경우)를 증명하였다. 이후 라울 보트가 이를 일반적 정수 무게에 대한 경우(즉, 고차 코호몰로지에 대응하는 경우)로 일반화하였다.

참고 문헌[편집]

  • Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989). 《The Penrose transform: its interaction with representation theory》 (영어). Oxford University Press. 

외부 링크[편집]