슈어 보조정리

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

군 표현론에서, 슈어 보조정리(Schur's lemma)는 기약 표현 사이의, 군의 작용과 가환하는 선형사상은 가역 사상이거나 0이라는 보조정리다.

정의[편집]

R이고, MNR에 대한 단순 가군이라고 하자. 그렇다면 가군 준동형 M\to N가역 사상이거나 상수 함수 0이다. 이 사실을 슈어 보조정리라고 한다.

군에 대한 슈어 보조정리[편집]

G이고, V벡터 공간이고, \rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)군의 표현이라고 하자. 그렇다면 V\rho로 인하여 군환 V[G]에 대한 가군을 이룬다. 이 경우, V단순 가군일 필요충분조건은 \rho기약 표현인지 여부다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 G\to\operatorname{GL}(V_1),\operatorname{GL}(V_2)사이, 군 작용과 가환하는 선형 변환 V_1\to V_2(가군의 준동형)는 가역 사상이거나 0이다. 물론, 가역 사상인 경우는 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가능하다.

응용[편집]

슈어 보조정리는 군 표현론에서 다음과 같이 쓰인다. K 위의 단위 결합 대수 R가 주어졌다고 하고, K-벡터 공간 VR 위의 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, V자기 사상환

\operatorname{End}_RV=\hom_{R\text{-Mod}}(V,V)

을 생각할 수 있다. 슈어 보조정리에 따라서 \operatorname{End}_RVK 위의 나눗셈환이다. M이 유한 차원 K-벡터 공간이며, K가 비가산 대수적으로 닫힌 체 (예를 들어, 복소수체 \mathbb C)라면, 그 위의 나눗셈환K 자체밖에 없으며, 따라서 \operatorname{End}_RV=K이다. 다시 말해, R의 모든 원소와 가환하는 V 위의 선형 변환항등 함수의 스칼라배 밖에 없다.

특히, R=U(\mathfrak g)복소수 리 대수 \mathfrak g 위의 보편 포락 대수라고 하고, \mathfrak g의 복소수 기약 표현 V가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 \mathfrak g카시미르 불변량 (보편 포락 대수의 중심) C\in Z(U(\mathfrak g))V 위에 항등 함수의 스칼라배이다. 따라서, 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류된다.

역사[편집]

이사이 슈어가 1905년 발표하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Schur, Issai (1905). “Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere”. 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 1905: 406-432. 

바깥 고리[편집]