슈어 보조정리

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군 표현론에서, 슈어 보조정리(Schur's lemma)는 기약 표현 사이의, 군의 작용과 가환하는 선형사상은 가역 사상이거나 0이라는 보조정리다.

정의[편집]

이고, 에 대한 단순 가군이라고 하자. 그렇다면 가군 준동형 가역 사상이거나 상수 함수 0이다. 이 사실을 슈어 보조정리라고 한다.

군에 대한 슈어 보조정리[편집]

이고, 벡터 공간이고, 군의 표현이라고 하자. 그렇다면 로 인하여 군환 에 대한 가군을 이룬다. 이 경우, 단순 가군일 필요충분조건은 기약 표현인지 여부다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 사이, 군 작용과 가환하는 선형 변환 (가군의 준동형)는 가역 사상이거나 0이다. 물론, 가역 사상인 경우는 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가능하다.

응용[편집]

슈어 보조정리는 군 표현론에서 다음과 같이 쓰인다. 위의 단위 결합 대수 가 주어졌다고 하고, -벡터 공간 위의 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 자기 사상환

을 생각할 수 있다. 슈어 보조정리에 따라서 위의 나눗셈환이다. 이 유한 차원 -벡터 공간이며, 가 비가산 대수적으로 닫힌 체 (예를 들어, 복소수체 )라면, 그 위의 나눗셈환 자체밖에 없으며, 따라서 이다. 다시 말해, 의 모든 원소와 가환하는 위의 선형 변환항등 함수의 스칼라배 밖에 없다.

특히, 복소수 리 대수 위의 보편 포락 대수라고 하고, 의 복소수 기약 표현 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 카시미르 불변량 (보편 포락 대수의 중심) 위에 항등 함수의 스칼라배이다. 따라서, 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류된다.

역사[편집]

이사이 슈어가 1905년 발표하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Schur, Issai (1905). “Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere”. 《Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin》 1905: 406-432. 

바깥 고리[편집]