안정 벡터 다발

대수기하학과 미분기하학에서 안정 벡터 다발(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)은 정칙 벡터 다발 가운데, 모듈라이 공간을 잘 정의할 수 있는 것들이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 복소다양체 $M$
• 고차원 복소수 사영 공간으로의 단사 정칙 함수 $M\hookrightarrow \operatorname {\mathbb {C} P} ^{N}$. 이에 따라, $M$ 위에는 표준적인 켈러 다양체 구조가 주어지며, 켈러 형식의 코호몰로지류 $[\omega ]\in \operatorname {H} ^{2}(M;\mathbb {R} )$는 정수 계수 코호몰로지로 주어진다는 정수 계수이다. (고다이라 매장 정리에 의하여, 그 역 또한 성립한다.)
• $M$ 위의 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

다발의 기울기

$E\neq 0$이라고 할 때, $E$의 기울기(영어: slope 슬로프^[*])는 다음과 같은 유리수이다.

$\mu (E)={\frac {\int _{M}[\omega ]^{\dim _{\mathbb {C} }M-1}\smile \operatorname {c} _{1}(E)}{\dim _{M}E}}\in \mathbb {Q}$

이 식에서, 분자가 정수인 것은 $M$이 사영 대수다양체이기 때문이다.

에르미트-아인슈타인 접속

콤팩트 리 군

$\operatorname {U} (1)_{\operatorname {diag} }\leq G\leq \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$

이 주어졌으며, $E\twoheadrightarrow M$가 $M$ 위의, $G$ 구조의 정칙 벡터 다발이라고 하고, 이에 대응되는 $G$-주다발이

$P\twoheadrightarrow M$

이라고 하자.

그렇다면, $E$ 위의 어떤 벡터 다발 접속 $\nabla$의 곡률

$F_{i{\bar {\jmath }}}^{a}\in \Omega ^{1,1}(M;{\mathfrak {ad}}(P))$

을 정의할 수 있다. 이는 (1,1)차 벡터 값 복소수 미분 형식이며, 이것이 값을 갖는 벡터 다발은 딸림표현 연관 벡터 다발

${\mathfrak {ad}}(P)=P\times _{G}{\mathfrak {lie}}(G)$

이다. 표현에 따라서

${\mathfrak {ad}}(P)\subseteq \operatorname {End} E$

이다. $\operatorname {End} E$에서, 스칼라에 대한 곱셈으로 구성된 부분 선다발

$\mathbb {C} \operatorname {id} _{E}\subseteq \operatorname {End} E$

을 생각하자. 이는 표준적 대역적 단면을 가지므로, 표준적으로 자명한 벡터 다발을 이룬다. 이 포함 사상을

$m\colon M\times \mathbb {C} \hookrightarrow \operatorname {End} (E)$

이라고 하자. 이제, 만약

$F\in \mathrm {i} \mathbb {R} m(\omega )\subseteq \Omega ^{1,1}(M;\operatorname {End} E)$

라면, $\nabla$를 에르미트-아인슈타인 접속이라고 한다. $\mathrm {i} \lambda$는 허수이므로, 이 경우 $E$ 위에 임의의 에르미트 계량을 부여한다면, $\nabla$는 자명하게 유니터리 접속을 이룬다 (모든 모노드로미가 에르미트 계량에 대하여 유니터리 행렬이다).

안정 벡터 다발

$E\neq 0$일 때, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정칙 벡터 다발을 안정 벡터 다발이라고 한다.

• $E$의 임의의 부분 정칙 벡터 다발 $0\subsetneq F\subsetneq E$에 대하여, $\mu (F)<\mu (E)$이다.
• $E$는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ($G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})$에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 (하나 이상) 존재한다.
• $E$는 (양의 차원의) 두 정칙 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없으며, 그 위에는 ($G=\operatorname {GL} (\mathbb {C} ^{\operatorname {rk} E})$에 대한) 에르미트-아인슈타인 접속이 유일하게 존재한다.

안정 벡터 다발의 첫 정의에서, $\mu (F)<\mu (E)$를 $\mu (F)\leq \mu (E)$로 약화시키면, 준안정 벡터 다발(영어: semistable vector bundle)의 개념을 얻는다.

리만 곡면의 경우

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 리만 곡면 $\Sigma$
• 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow \Sigma$

이 경우, $\operatorname {H} ^{2}(\Sigma )$가 1차원이므로, $\Sigma$ 위에 임의의 켈러 다양체 구조를 부여하더라도, 그 스칼라배를 취하여 이것이 사영 다양체가 되게 만들 수 있다. 구체적으로, 이 경우 항상 $\Sigma$의 넓이가 1이 되게 규격화할 수 있다.

이 경우, $E$의 기울기는 켈러 구조에 의존하지 않으며, 따라서 안정성 여부 역시 켈러 구조에 의존하지 않는다.

성질

다음이 주어졌다고 하자.

• 복소수 1차원 콤팩트 켈러 다양체 $\Sigma$
• 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow \Sigma$
• $E$ 위의 에르미트 구조 $\eta \in \Gamma _{\Sigma }(E^{*}\otimes {\bar {E}}^{*})$

만약 $E$ 위에 벡터 다발 접속 $\nabla$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 폐곡선

$\gamma \colon [0,1]\to \Sigma$

$\gamma (0)=\gamma (1)\in \Sigma$

에 대하여, 모노드로미

$T_{\gamma }\in \operatorname {GL} (E_{\gamma (0)};\mathbb {C} )$

를 정의할 수 있다. 만약 이러한 모노드로미가 모두 유니터리 군

$\operatorname {U} (E_{\gamma (0)})\leq \operatorname {GL} (E_{\gamma (0)};\mathbb {C} )$

에 속한다면, 이러한 접속을 유니터리 접속(영어: unitary connection)이라고 하자. 유니터리 접속 $\nabla$이 주어졌을 때, 그 곡률

$F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\Sigma ;\operatorname {u} (E))$

를 생각하자. ($\operatorname {u} (E)$는 $E$ 위의 유니터리 리 대수들의 벡터 다발이다.) 이제, 부피 형식을 통한 호지 쌍대

$*F_{\nabla }\in \Gamma (\operatorname {u} (E))$

를 생각하자.

나라심한-세샤드리 정리(நரசிம்மன்-சேஷாத்ரி定理, 영어: Narasimhan–Seshadri theorem)에 따르면, $E$가 두 벡터 다발의 직합으로 표현될 수 없다고 가정하였을 때, $(E,\eta )$가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 $*F_{\nabla }=-2\pi \mathrm {i} \mu (E)$인 유니터리 접속을 갖는 것이다. 이 경우, 곡률이 상수이므로, 모노드로미를 통하여 임의의 점 $z\in \Sigma$에 대하여 군 준동형

$\pi _{1}(\Sigma ,z)\to \operatorname {PU} (E_{z})={\frac {\operatorname {U} (E_{z})}{\mathbb {C} ^{\times }}}$

이 존재한다.

리만 곡면 위의 안정 벡터 다발의 모듈러스 공간

다음이 주어졌다고 하자.

• 종수 $g$의 리만 곡면 $\Sigma$
• 자연수 $r\in \mathbb {N}$ (정칙 벡터 다발의 차원)
• 정수 $d\in \mathbb {Z}$ (정칙 벡터 다발의 차수)

그렇다면, $\Sigma$ 위의 $r$차원 $d$차 안정 정칙 벡터 다발들의 모듈라이 공간

${\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)$

을 정의할 수 있다. 이는 연결 공간인 복소수 사영 대수다양체이다. $E\twoheadrightarrow \Sigma$에서, 그 접공간은 다음과 같다.

$\mathrm {T} _{E}{\mathcal {M}}=\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))$

증명 개략:

어떤 매개 변수 $t\in \mathbb {R}$ 및 열린 덮개 $(U_{i})_{i\in I}$에 대하여 전이 함수가 $\phi _{ij}(t)\colon U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Aut} (E\upharpoonright U_{i}\cap U_{j})$라면,

$\partial _{t}\ln \phi _{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {End} (E)$

이며, 이러한 함수들의 족은 ($t=0$에서) 층 코호몰로지 $\operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} (E))$의 원소를 정의한다. 여기서 $\operatorname {End} E=E^{*}\otimes _{\mathbb {C} }E$이다.

그 복소수 차원은 다음과 같다.

${\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing \implies \dim _{\mathbb {C} }{\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)=r^{2}(g-1)+1$

여기서 ${\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\neq \varnothing$일 필요 충분 조건은 $g\geq 2$이거나, $g=1$이며 $\gcd\{r,d\}=1$이거나, $g=0$이며 $r=1$인 것이다. 여기서 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow \Sigma$의 차수는 $\deg E=\textstyle \int _{\Sigma }\operatorname {c} _{1}(E)\in \mathbb {Z}$이며, $\operatorname {c} _{1}$은 1차 천 특성류이다.

증명:

${\mathcal {M}}$의 차원은 물론 어떤 임의의 $E\in {\mathcal {M}}$에서의 접공간의 차원과 같다.

리만-로흐 정리에 따라서,

$\dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)-\dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=\deg(\operatorname {End} E)+(1-g)\dim(\operatorname {End} E)$

이다. 그런데 $\det(E^{*}\otimes E)$는 대역적 단면을 가지므로

$\deg(\operatorname {End} E)=0$

이며, $E$가 안정 벡터 다발이므로

$\dim \operatorname {H} ^{0}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=1$

이다. (이는 올별 항등 함수의 스칼라배로 구성된다.) 물론

$\dim(\operatorname {End} E)=r^{2}$

이다. 따라서

$\dim \operatorname {H} ^{1}(\Sigma ,\operatorname {End} E)=r^{2}(g-1)+1$

이다.

만약 $g=0$일 경우 ($\Sigma \cong \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}$), 리만 구 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

$\bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})$

여기서 ${\mathcal {O}}(d)$는 보편 선다발의 $-d$차 텐서곱이다. 이 가운데 안정 벡터 다발인 것은 선다발 ${\mathcal {O}}(d)$ 밖에 없으며, 준안정 벡터 다발인 것은 모든 $i$에 대하여 $d_{1}=d_{2}=\dotsb$인 것이다 (즉, $\dim E\mid \deg E$). 즉,

${\mathcal {M}}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},r,d)={\begin{cases}\{\bullet \}&r\mid d\\\varnothing &r\nmid d\end{cases}}$

이다.

만약 $g=1$일 경우, 타원 곡선 위의 정칙 벡터 다발 $E$가 안정 벡터 다발일 필요 충분 조건은 그 차수와 그 차원이 서로소인 것이다.

$\gcd\{\deg E,\dim E\}=1$

이 경우,

${\mathcal {M}}(\Sigma ,r,d)\cong \Sigma \qquad (\gcd\{r,d\}=1)$

이다.

하더-나라삼한 여과

리만 곡면 $\Sigma$ 위의 임의의 정칙 벡터 다발 $E$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 여과

$0=E_{0}\subseteq E_{1}\subseteq \dotsb \subseteq E_{k}=E$

가 존재한다.

• 임의의 $i\in \{0,1,\dotsc ,k-1\}$에 대하여, $E_{i+1}/E_{i}$는 $\Sigma$ 위의 준안정 벡터 다발이다.

이를 하더-나라심한 여과(영어: Harder–Narasimhan filtration)라고 한다.

역사

데이비드 멈퍼드가 1963년에 도입하였다.

나라심한-세샤드리 정리는 무두바이 세샤차를루 나라심한(타밀어: முடும்பை சேஷ சாரலு நரசிம்மன், 영어: Mudumbai Seshacharlu Narasimhan)과 칸지바람 스리랑가차리 세샤드리(타밀어: காஞ்சீவரம் ஶ்ரீ ரங்காசாரி சேஷாத்ரி, 영어: Conjeevaram Srirangachari Seshadri)가 1965에 최초로 대수기하학을 사용하여 증명하였으며, 이후 1983년에 사이먼 도널드슨이 미분기하학을 사용하여 다른 정의를 발표하였으며, 1985년에 이 정리를 임의의 차원의 사영 켈러 다양체에 대하여 일반화하였다.

예

모든 정칙 선다발(1차원 정칙 벡터 다발)은 (자명하게) 안정 벡터 다발이다.

양의 차원의 두 정칙 선다발 $E$, $F$의 직합 $E\oplus F$은 안정 벡터 다발이 될 수 없다.^:269 이 경우,

$\operatorname {c} _{1}(E\oplus F)=\operatorname {c} _{1}(E)+\operatorname {c} _{1}(F)$

$\dim(E\oplus F)=\dim E+\dim F$

이므로,

$\min\{\mu (E),\mu (F)\}\leq \mu (E\oplus F)\leq \max\{\mu (E),\mu (F)\}$

이기 때문이다.

외부 링크

• “Stable vector bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Stable bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Narasimhan–Seshadri theorem”. 《nLab》 (영어). 
• Li, Chao. “Stable vector bundles on curves” (영어). 
• Ward, Matt (2012년 9월 16일). “Moduli of vector bundles on elliptic curves”. 《A Mind for Madness》 (영어). 2018년 12월 1일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2018년 12월 1일에 확인함. 
• Kermani, Ehsan M. (2012년 11월 30일). “Classification of vector bundles on elliptic curves” (영어). 
• Pingali, Vamsi Pritham (2018년 7월 18일). “Donaldson’s proof of the Narasimhan–Seshadri theorem” (PDF) (영어). 2018년 10월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 10월 9일에 확인함. 
• Evans, Jonathan (2011년 11월 1일). “Lecture 11: Holomorphic vector bundles Ⅱ (stability)” (PDF) (영어). 
• Evans, Jonathan (2011년 11월 3일). “Lecture 12: Holomorphic vector bundles Ⅲ (Harder–Narasimhan)” (PDF) (영어). 
• Evans, Jonathan (2011년 11월 8일). “Lecture 13: Narasimhan-Seshadri theorem Ⅰ” (PDF) (영어). 
• Evans, Jonathan (2011년 11월 10일). “Lecture 14: Narasimhan-Seshadri theorem Ⅱ” (PDF) (영어).