아즈마야 대수

환론과 대수적 수론과 대수기하학에서 아즈마야 대수([東屋]代數, 영어: Azumaya algebra)는 가환환 또는 스킴 위의 단위 결합 대수 가운데, 자리스키 위상에서 각 줄기가 유한 차원 자유 가군이며, 줄기의 포락 대수가 행렬환과 동형인 것이다. 대수기하학적으로, 아즈마야 대수는 올이 사영 공간인 올다발에 해당한다.

아즈마야 대수들의 동치류는 브라우어 군(Brauer群, 영어: Brauer group)이라는 군을 정의한다. 이는 벡터 다발의 동치류들이 K군을 정의하는 것과 마찬가지다.

정의

가환 국소환 $(R,{\mathfrak {m}})$ 위의 아즈마야 대수 $\phi \colon R\to A$는 다음 조건을 만족시키는 $R$-단위 결합 대수이다.^{:136, §IV.1}

• $R$-가군으로서 양의 유한 차원 자유 가군 $R^{n}$과 동형이다.
• $a\otimes _{R}b\mapsto (x\mapsto axb)$에 의하여, $A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\cong \operatorname {Mat} (n;R)=\operatorname {End} (_{R}A)$이다.

여기서 $A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }=A^{\operatorname {e} }$는 $A$의 포락 대수(영어: enveloping algebra)이다.

스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 아즈마야 대수 ${\mathcal {A}}$는 다음 조건을 만족시키는 ${\mathcal {O}}_{X}$-단위 결합 대수 층이다.^{:140, §IV.2}

• ${\mathcal {A}}$는 ${\mathcal {O}}_{X}$-가군층으로서 연접층이며, 각 닫힌 점 $x\in X$에 대하여, 줄기 ${\mathcal {A}}_{x}$는 가환 국소환 ${\mathcal {O}}_{X,x}$ 위의 아즈마야 대수이다.

브라우어 군

스킴 $S$ 위의 두 아즈마야 대수 ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {A}}'$에 대하여, 텐서곱 ${\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {A}}'$ 역시 $S$ 위의 아즈마야 대수를 이룬다. 따라서, $S$ 위의 아즈마야 대수들은 텐서곱에 대하여 모노이드를 이룬다.

스킴 $S$ 위의 두 아즈마야 대수 ${\mathcal {A}}$, ${\mathcal {A}}'$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 ${\mathcal {O}}_{X}$-국소 자유 가군층 ${\mathcal {E}}$ 및 ${\mathcal {E}}'$이 존재한다면, 서로 브라우어 동치(영어: Brauer-equivalent)라고 한다.^{:§2, 141}

${\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}})\cong {\mathcal {A}}'\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {E}}')$

이는 $S$-아즈마야 대수의 동치 관계를 이룬다. 브라우어 동치 관계는 텐서곱은 보존하며, 따라서 $S$-아즈마야 대수의 브라우어 동치류들은 모노이드를 이룬다. 이 모노이드는 사실 군을 이루며, 이를 $S$의 브라우어 군(영어: Brauer group) $\operatorname {Br} (S)$라고 한다. 브라우어 군에서, 아즈마야 대수의 동치류 $[{\mathcal {A}}]$의 역원은 그 반대 대수층의 동치류 $[{\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }]$이다.

성질

체 위의 아즈마야 대수

체 $K$ 위의 단위 결합 대수 $f\colon K\to A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 $K$ 위의 아즈마야 대수이다.
• $f$는 단사 함수이며, $\operatorname {Z} (A)=K$이며, $\dim _{K}A$는 유한하다.
• $A$는 양의 정수 차원 $K$-벡터 공간이며, 다음 조건을 만족시키는 유한 차수 분해 가능 확대 $L/K$ 및 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$이 존재한다.
  • $A\otimes _{K}L\cong \operatorname {Mat} (n;K)$

이와 같이, 체 위의 아즈마야 대수를 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

가환환 위의 아즈마야 대수

가환환 $R$ 위의 단위 결합 대수 $A$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$는 $R$ 위의 아즈마야 대수이다.
• $_{R}A$는 충실한 가군이며, 사영 가군이며, $A\otimes _{R}A^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} (_{R}A)$는 $R$-단위 결합 대수의 동형 사상이다.
• $_{R}A$는 유한 생성 가군이며, 모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}\subseteq R$에 대하여 $A/{\mathfrak {m}}A$는 $R/{\mathfrak {m}}$-중심 단순 대수이다.^{:Theorem 1.5.3}

스콜렘-뇌터 정리

스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 아즈마야 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형이다.^{:142, Proposition IV.2.3} 즉, 스킴 $S$ 위의 아즈마야 대수 ${\mathcal {A}}$의 임의의 자기 동형 $f\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}$에 대하여,

$f|_{U_{i}}\colon a\mapsto u_{i}au_{i}^{-1}\qquad \forall i\in I$

가 되는 $S$의 아핀 열린 덮개 $\{U_{i}\}_{i\in I}$ 및 $u_{i}\in \operatorname {Unit} (\Gamma (U_{i},{\mathcal {A}}))$가 존재한다. (여기서 $\operatorname {Unit} (-)$는 환의 가역원군을 뜻하며, $\Gamma$는 층의 단면 집합을 뜻한다.)

특히, $S=\operatorname {Spec} K$가 체 $K$의 스펙트럼일 경우, 모든 $K$-중심 단순 대수 $A$의 자기 동형 $f\colon A\to A$에 대하여 $f\colon a\mapsto uau^{-1}$가 되는 가역원 $u\in \operatorname {Unit} (A)$가 존재한다.

브라우어 군과 에탈 코호몰로지

스킴 $S$의 브라우어 군 $\operatorname {Br} S$에서 $\mathbb {G} _{\operatorname {m} }$ 계수의 2차 에탈 코호몰로지 군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.^{:142–145, Theorem IV.2.5}

$\iota \colon \operatorname {Br} S\to \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })$

구체적으로, 이는 다음과 같다. $S$ 위의 아즈마야 대수 ${\mathcal {A}}$가 주어졌을 때, 작은 에탈 위치 $S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$ 위에 다음과 같은 올범주 ${\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}$이 존재한다. 에탈 위치의 대상 $\left(\iota _{U}\colon (U,{\mathcal {O}}_{U})\to (S,{\mathcal {O}}_{S})\right)\in S_{\operatorname {{\acute {e}}t} }$에 대하여,

• 올 ${\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)$의 대상 $({\mathcal {E}},\alpha )$는 유한 차원 ${\mathcal {O}}_{U}$-국소 자유 가군층 ${\mathcal {E}}$와 동형 사상 $\alpha \colon {\underline {\operatorname {End} }}(_{{\mathcal {O}}_{U}}{\mathcal {E}})\to {\mathcal {A}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\iota _{U}}_{*}{\mathcal {O}}_{U}$의 순서쌍이다.
• 올 ${\mathcal {F}}_{\mathcal {A}}(U)$의 사상 $(E,\alpha )\to (E',\alpha ')$은 적절한 가환 그림들을 만족시키는 동형 사상 $E\to E'$이다.

이 올범주는 스택이자 제르브이며, $\mathbb {G} _{\operatorname {m} }$는 그 위에 다음과 같이 작용한다.

$\mathbb {G} _{\operatorname {m} }(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\to \operatorname {Aut} _{U}({\mathcal {E}},\alpha )$

$\left(g\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{U}^{\times })\right)\mapsto (g\cdot \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}})$

따라서, 이 제르브는 2차 에탈 코호몰로지 군 $\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })$의 원소를 표현한다.

또한, 만약 $S$가 오직 유한 개의 연결 성분만을 갖는다면, 단사 군 준동형 $\iota \colon \operatorname {Br} S\hookrightarrow \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })$의 상은 꼬임 부분군 $\operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))$에 속한다. 즉, 이 경우 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\operatorname {Br} S\subseteq \operatorname {Tors} (\operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} }))\subseteq \operatorname {H} _{\operatorname {{\acute {e}}t} }^{2}(S;\mathbb {G} _{\operatorname {m} })$

수체 위의 중심 단순 대수

대수적 수체 $K$ 위의 중심 단순 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 앨버트-브라우어-하세-뇌터 정리(영어: Albert–Brauer–Hasse–Noether theorem)에 따르면, 만약 모든 자리 $v$에 대하여

$A\otimes _{K}K_{v}\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K_{v})$

라면, $A\cong \operatorname {Mat} (\dim _{K}A;K)$이다. 이는 대수적 수론의 국소-대역 원리의 한 예이다. 이에 따라, 대수적 수체 위의 중심 단순 대수의 분류는 국소체 위의 중심 단순 대수의 분류로 귀결된다.

역사

체 위의 아즈마야 대수(중심 단순 대수)는 나눗셈환의 분류의 일환으로 19세기 말부터 연구되어 왔다. 1878년에 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 (현대적 용어로는) 실수체 $\mathbb {R}$의 브라우어 군 $\operatorname {Br} (\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z} /2$을 계산하였다 (프로베니우스 정리). 조지프 웨더번은 1905년에 (현대적 용어로) 유한체의 브라우어 군이 자명하다는 것을 증명하였다 (웨더번 소정리). 그러나 웨더번의 첫 증명은 약간의 결함이 있었으며, 레너드 유진 딕슨이 최초로 올바른 증명을 발표하였다.

브라우어 군은 리하르트 브라우어가 1932년에 정의하였다.

아즈마야 고로가 1951년에 "고유 극대 중심 대수"(영어: proper maximally central algebra)라는 이름으로 도입하였다.^:128:§1.6 (엄밀히 말해, 아즈마야는 이 용어를 정의할 때 자유 가군이어야 한다는 조건을 추가하였다.) 이후 1964~1965년 니콜라 부르바키 세미나에서 알렉산더 그로텐디크가 그 정의를 일반화하여 스킴 위의 아즈마야 대수를 정의하였고, "아즈마야 대수"라는 용어를 도입하였다.

참고 문헌

• Knus, Max-Albert (1991). 《Quadratic and hermitian forms over rings》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 294. Springer-Verlag. ISBN 3-540-52117-8. Zbl 0756.11008. 
• Knus, Max-Albert; Ojanguren, Manuel (1974). 《Théorie de la descente et algèbres d’Azumaya》. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 389. Springer-Verlag. doi:10.1007/BFb0057799. ISSN 0075-8434. MR 0417149. Zbl 0284.13002. 
• Caenepeel, Stefaan (1998). 《Brauer groups, Hopf algebras and Galois theory》. K-Monographs in Mathematics (영어) 4. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4020-0346-2. ISSN 1386-2804. 
• Serre, Jean-Pierre (1955). 《Applications algèbriques de la cohomologie des groupes. II: Théorie des algèbres simples》 (프랑스어). 파리: Secrétariat mathématique. 

외부 링크

• “Brauer group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Separable algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Azumaya algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Brauer group”. 《nLab》 (영어).