사용자:Kobmuiv/K이론

수학에서 K이론은 대략적으로 말하면 위상 공간 또는 스킴에 대한 선형 다발에 의해 생성된 환 에 대한 연구이다. 대수적 위상수학에서는 위상 K이론으로 알려진 코호몰로지 이론이다. 대수학 및 대수 기하학에서는 대수적 K-이론이라고 한다. 또한 작용소 대수 분야의 기본 도구이다. 큰 행렬의 특정 종류의 불변량에 대한 연구로 볼 수 있다.

K이론은 위상 공간 또는 스킴에서 관련 환으로 사상하는 K함자 계열의 구성을 포함한다. 이 환는 원래 공간이나 스킴의 구조의 일부 측면을 반영한다. 대수적 위상수학에서 군에 대한 함자와 마찬가지로 이 함자 사상의 이유는 원래 공간이나 스킴보다 사상된 환에서 일부 위상 성질을 계산하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-이론 접근법에서 얻은 결과의 예로는 그로텐디크–리만–로흐 정리, 보트 주기성, 아티야-싱어 지표 정리 및 애덤스 연산이 있다.

고에너지 물리학에서 K-이론과 특히 뒤틀린 K-이론은 유형 II 끈 이론 에 등장하여 D-브레인, 라몬드-라몬드 장 강도 및 일반화 복소 다양체의 특정 스피너를 분류한다고 추측되었다. 응집 물질 물리학 에서 K-이론은 위상 절연체, 초전도체 및 안정적인 페르미 표면을 분류하는 데 사용되었다. 자세한 내용은 물리학에서 K-이론 참조.

그로텐디크 완비화

아벨 모노이드의 그로텐디크 완비화는 K이론을 정의하는 데 필수적인 과정이다. K이론의 모든 정의가 적절한 범주에서 아벨 모노이드를 구성하고 이 보편적인 구성을 통해 이를 아벨 군으로 바꾸는 것으로 시작하기 때문이다. 주어진 아벨 모노이드 $(A,+')$에 대해 $a_{1}+'b_{2}+'c=a_{2}+'b_{1}+'c$인 $c\in A$가 존재하는 경우, $\sim$ 를 $A^{2}=A\times A$에서 정의된 관계

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2})$

라 하자. 그렇게 그런 다음 집합 $G(A)=A^{2}/\sim$는 군 구조 $(G(A),+)$를 가지고 있다. 여기서,

$[(a_{1},a_{2})]+[(b_{1},b_{2})]=[(a_{1}+'b_{1},a_{2}+'b_{2})].$

이 군의 동치류는 아벨 모노이드 원소의 형식적 차(差)로 생각해야 한다. 이 군 $(G(A),+)$은 또한 $a\mapsto [(a,0)]$로 주어진 모노이드 준동형사상 $i:A\to G(A)$과 관련이 있다. 이는 보편 성질을 가지고 있다.

이 군을 더 잘 이해하려면 아벨 모노이드 $(A,+)$의 몇 가지 동치류를 고려하면 된다. 여기서 $A$의 항등원을 $0$으로 적어서$[(0,0)]$가 $(G(A),+)$의 항등원이도록 한다. 첫 번째로, $c=0$으로 설정할 수 있고 동치 관계에서 방정식을 적용하여 $n=n$를 얻을 수 있기 때문에 $\forall n\in A$, $(0,0)\sim (n,n)$이다. 이것은

$[(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,a+b)]=[(0,0)]$

를 의미한다. 따라서 $G(A)$의 각 원소에 대한 덧셈 역원을 가지고 있다. 이것은 동치류 $[(a,b)]$를 형식적 차 $a-b$로 생각해야 한다는 힌트를 제공 한다. 또 다른 유용한 관찰은 스케일링에서 동치류의 불변성이다.

$(a,b)\sim (a+k,b+k)$ $\forall k\in A.$

그로텐디크 완비화는 함자 $G:\mathbf {AbMon} \to \mathbf {AbGrp}$로 볼 수 있다. 해당 망각 함자 $U:\mathbf {AbGrp} \to \mathbf {AbMon}$에 인접하게 남겨지는 성질이 있다. 즉, 아벨 모노이드 $A$에서 아벨 군 $B$의 기저 아벨 모노이드로 가는 사상 $\phi :A\to U(B)$가 주어졌을 때, 유일한 아벨 군 사상 $G(A)\to B$이 존재한다.

자연수의 예

살펴볼 예가 되는 예는 $\mathbb {N}$의 그로텐디크 완비화이다. $G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+)$을 볼 수 있다. 모든 쌍 $(a,b)$에 대해 스케일링에서 불변성을 사용하여 극소 대표원 $(a',b')$을 찾을 수 있다. 예를 들어 스케일링 불변성에서 다음을 확인할 수 있다.

$(4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)$

일반적으로 $k:=\min\{a,b\}$이다. 그러면,

$(a,b)\sim (a-k,b-k)$ 형식인 것 $(c,0)$ 또는 $(0,d).$

이것은 $(a,0)$를 양의 정수로 $(0,b)$를 음의 정수로 생각해야 함을 보여준다.

정의

K이론에는 여러 가지 기본 정의가 있다. 두 가지는 위상수학에서, 두 가지는 대수 기하학에서 나온다.

콤팩트 하우스도르프 공간에 대한 그로텐디크 군

주어진 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대해 $X$ 위의 유한 차원 선형 다발의 동치류 집합 ${\text{Vect}}(X)$을 고려하자. 선형 다발 $\pi :E\to X$의 동형사상 동치류 $[E]$를 보자. 선형 다발의 동치류에 대해 직합이 잘 정의 되므로 동치류에 다음과 같이 연산을 작성할 수 있다.

$[E]\oplus [E']=[E\oplus E']$

$({\text{Vect}}(X),\oplus )$는 자명한 선형 다발 $\mathbb {R} ^{0}\times X\to X$에 의해 단위가 주어지는 아벨 모노이드이다. 그런 다음 그로텐디크 완비화을 적용하여 이 아벨 모노이드에서 아벨 군 을 얻을 수 있다. 이를 $X$의 K-이론이라하고 $K^{0}(X)$로 적는다.

세르-스완 정리와 어떤 대수를 사용하여 연속 복소 함수 환 $C^{0}(X;\mathbb {C} )$에 대한 선형 다발의 사영 가군 설명을 얻을 수 있다. 그런 다음 이들은 어떤 행렬환 $M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))$에서 멱등 행렬로 식별될 수 있다. 멱등 행렬의 동치류를 정의하고 아벨 모노이드 ${\textbf {Idem}}(X)$를 형성할 수 있다. 이의 그로텐디크 완비화도 $K^{0}(X)$라고 한다. 위상 공간에 대한 그로텐디크 군을 계산하는 주요 기술 중 하나는 아티야–히르체부르흐 스펙트럼 열에서 가져오므로 아주 쉽게 접근할 수 있다. 이 스펙트럼 열를 이해하는 데 필요한 유일한 계산은 구 $S^{n}$에 대해 군 $K^{0}$을 계산하는 것이다. ^{페이지 51-110}

대수 기하학에서 선형 다발의 그로텐디크 군

대수 기하학에서 선형 다발을 고려하여 유사한 구성이 있다. 뇌터 스킴 $X$에 대해, $X$ 위의 대수적 선형 다발의 모든 동치류 집합 ${\text{Vect}}(X)$가 있다. 그런 다음 이전과 같이 직합 $\oplus$이 선형 다발의 동형사상 동치류는 잘 정의되어 있으며, 아벨 모노이드 $({\text{Vect}}(X),\oplus )$를 제공한다. 그런 다음 아벨 모노이드에 그로텐디크 구성을 적용하여 그로텐디크 군 $K^{0}(X)$이 정의된다.

대수기하학에서 연접층의 그로텐디크 군

대수기하학에서는 동일한 구성을 매끄러운 스킴를 통해 대수 선형 다발에 적용할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴 $X$에 대한 대안적 구성이 있다. 연접층 $\operatorname {Coh} (X)$의 동치류를 보면, 짧은 완전열

$0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.$

이 있는 경우 관계 $[{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']$에 의해 수정할 수 있다. 이것은 그로텐디크 군 $K_{0}(X)$을 제공한다. 만약에 $X$가 매끄러우면 이는 $K^{0}(X)$과 동형이다. 군 $K_{0}(X)$에는 환 구조도 있기 때문에 특별하다. 그것을 다음과 같이 정의한다.

$[{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].$

그로텐디크–리만–로흐 정리를 사용하면

$\operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q}$

는 환 동형사상이다. 따라서 교차 이론에 대해 $K_{0}(X)$를 사용할 수 있다.

초기 역사

주제는 그의 그로텐디크-리만-로흐 정리를 공식화하기 위해 그것을 사용한 알렉산더 그로텐디크 (1957)에서 시작한다고 말할 수 있다. "유(類)"를 의미하는 독일어 Klasse에서 이름을 따왔다. 그로텐디크은 대수적 다형체 $X$에서 연접층으로 작업해야 했다. 층와 직접 작업하는 대신, 그는 층의 동치류를 군의 생성원으로 사용하여 군을 정의했으며, 두 층의 확장을 그들의 합으로 식별하는 관계에 따라 달라졌다. 결과 군은 국소 자유 층만 사용되는 경우 $K(X)$로, 모두 연접층인 경우 $G(X)$로 불린다. 이 두 구성 중 하나를 그로텐디크 군이라고 한다. $K(X)$는 코호몰로지적 행동을 하고 $G(X)$는 호몰로지적 행동을 한다.

$X$가 매끄러운 다형체인 경우 두 군은 동일하다. 그것이 매끄러운 아핀 다형체이라면, 국소적으로 자유 층의 모든 확장이 분할되므로 군은 대체적 정의를 갖는다.

위상수학에서는 선형 다발에 동일한 구성을 적용하여 1959년에 마이클 아티야 와 프리드리히 히르체부르흐가 위상 공간 $X$에 대해 $K(X)$를 정의하고 보트 주기성 정리를 사용하여 이를 놀라운 코호몰로지 이론의 기초로 삼았다. 그것은 아티야-싱어 지표 정리 (1962년경)의 두 번째 증명에서 중요한 역할을 했다. 게다가, 이 접근법은 C*-대수에 대한 비가환 K-이론으로 이어졌다.

이미 1955년에 장피에르 세르는 사영 가군이 있는 선형 다발의 유추를 사용하여 다항식 환 위에 유한하게 생성된 모든 사영 가군이 자유 가군이라는 세르 추측을 공식화했다. 이 주장은 맞지만 20년이 지나도록 해결되지 않았다. (스완 정리는 이 비유의 또 다른 측면이다. )

발전

대수적 K이론의 다른 역사적 기원은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된 화이트헤드와 다른 사람들의 작업이다.

고차 K이론 함자에 대한 다양한 부분적 정의가 있었던 기간이 뒤따랐다. 마지막으로 1969년과 1972년에 호모토피 이론을 사용하여 대니얼 퀼런이 두 가지 유용하고 동등한 정의를 제공했다. pseudo-isotopies 연구와 관련된 공간의 대수적 K이론을 연구하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 변형을 제공했다. 더 높은 K이론에 대한 많은 현대 연구는 대수 기하학 및 동기 코호몰로지 연구와 관련이 있다.

보조 이차 형식을 포함하는 해당 구성은 일반 이름 L-이론을 받았다. 그것은 수술 이론의 주요 도구이다.

끈 이론에서 라몬드-라몬드 장 강도와 안정적인 D-막의 전하의 K-이론 분류는 1997년에 처음 제안되었다

예 및 성질

체의 K₀

그로텐디크 군의 가장 쉬운 예는 체 $\mathbb {F}$에 대한 점 ${\text{Spec}}(\mathbb {F} )$의 그로텐디크 군이다. 이 공간 위의 선형 다발은 유한 차원 선형 공간이며, 이는 연접층 범주의 자유 대상이므로 사영이므로 동치류의 모노이드는 $\mathbb {N}$과 같고 선형 공간의 차원에 해당한다. 이 그로텐디크 군이 $\mathbb {Z}$이라는 것을 보이는 것은 쉬운 연습이다.

체에 대한 아틴 대수의 K ₀

뇌터 스킴 $X$의 그로텐디크 군의 중요한 성질 중 하나는 그것은 축소 하에서 불변이라는 것이다. 즉, $K(X)=K(X_{\text{red}})$. 따라서 아틴 $\mathbb {F}$-대수의 그로텐디크 군은 $\mathbb {Z}$들의 직합이다. 이때 $\mathbb {Z}$는 스펙트럼의 연결성분 당 하나씩이다. 예를 들어,

$$K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$$

사영 공간의 K₀

그로텐디크 군의 가장 일반적으로 사용되는 계산 중 하나는 체 위의 사영 공간 $K(\mathbb {P} ^{n})$에 대한 계산이다. 이것은 사영의 교차수 때문이다. $X$ 포함하여 계산할 수 있다. $i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}$ 푸시 풀 공식을 사용하여 $i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])$ . 이렇게 하면 $K(X)$의 원소를 사용하여 구체적인 계산을 수행할 수 있다. 왜냐하면

$$K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}$$

이므로 구조를 명시적으로 알 필요 없기 때문이다. $\mathbb {P} ^{n}$의 그로텐디크 군을 결정하는 한 가지 기법은 다음과 같은 계층화에서 비롯된다.

$$\mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}$$

아핀 공간에 대한 연접층의 그로텐디크 군은 $\mathbb {Z}$와 동형이기 때문에 $\mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}$의 교집합은 일반적으로 $k_{1}+k_{2}\leq n$에 대해

$$\mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}$$

사영 다발의 K₀

그로텐디크 군에 대한 또 다른 중요한 공식은 사영 다발 공식이다. 주어진 랭크 $r$ 선형 다발 ${\mathcal {E}}$ 뇌터 스킴 $X$을 통해, 사영 다발의 그로텐디크 군 $\mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))$는 기저가$1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}$인 랭크 $r$ 자유 $K(X)$-가군이다. 이 공식을 사용하면 $\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}$의 그로텐디크 군을 계산할 수 있다. 이렇게 하면 $K_{0}$ 또는 히르체부르흐 곡면을 계산할 수 있다. 또한 이것이 체 $\mathbb {F}$ 위의 사영 다발임을 관찰함으로써 그로텐디크 군 $K(\mathbb {P} ^{n})$을 계산하는 데 사용할 수 있다.

특이 공간의 K₀와 분리된 몫 특이점이 있는 공간

$K^{0}(X)$와 $K_{0}(X)$의 차이를 계산하는데서 오는 사소한 특이점을 가진 공간의 그로텐디크 군을 계산하는 최근 기법 중 하나는, 이는 모든 선형 다발이 연접층으로 동등하게 설명될 수 있다는 사실에서 비롯된다. 이것은 유도된 비가환 대수 기하학 에서 Singularity 범주 $D_{sg}(X)$의 그로텐디크 군을 사용하여 수행된다. . 다음으로 시작하는 긴 완전열을 제공한다.

$$\cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0$$

여기서 고차 항은 고차 K-이론에서 나온다. 매끄러운 영점 $X_{sm}\hookrightarrow X$들 위의 선형 다발 $E\to X_{sm}$로 제공된 특이한 $X$의 선형 다발에 유의하자. 이것은 일반적으로 분리된 몫 특이점을 가지기 때문에 가중 사영 공간에서 그로텐디크 군을 계산하는 것을 가능하게 한다. 특히 이러한 특이점에 등방 군 $G_{i}$들이 있는 경우, 사상

$$K^{0}(X)\to K_{0}(X)$$

는 단사이고 여핵은 $n=\dim X$인 ${\text{lcm}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}$에 의해 소멸된다. ^3페이지

매끄러운 사영 곡선의 K ₀

매끄러운 사영 곡선 $C$에 대해, $C$의 피카르 군의 그로텐디크 군은

$$K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)$$

이는 대수적 K-이론의 브라운-게르스텐-퀼런 스펙트럼 열 ^72쪽에서 유래한다. 체에 대한 유한 유형의 정규 스킴의 경우, 여차원 $p$인 부분 스킴 $x:Y\to X$들의 집합을 의미하는 여차원 $p$인 점들의 집합 $X^{(p)}$에 대해 수렴 스펙트럼 열이 있다.

$$E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)$$

여기서 $k(x)$는 부분 스킴의 대수적 함수체이다. 이 스펙트럼 열은 성질 ^{pg 80}

$$E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)$$

을 가진다. $X$의 저우 환의 경우, 본질적으로 $K_{0}(C)$의 계산을 제공한다. 왜냐하면 $C$가 여차원 $2$인 점을 갖지 않기 때문에, 스펙트럼 열의 유일한 중요하지 않은 부분은 $E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}$이다. 따라서

$${\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}$$

그런 다음 coniveau 여과를 사용하여 $K_{0}(C)$을 완전열

$$0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0$$

을 제공하므로 원하는 명시적 직합으로 결정할 수 있다. 여기서 왼쪽 항은 ${\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)$과 동형이다. 오른쪽 항은 $CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z}$과 동형이다. ${\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0$이므로, 동형사상을 제공하는 분리 위의 아벨 군의 열를 가진다. 만약 $C$가 $\mathbb {C}$ 위의 종수 $g$의 매끄러운 사영 곡선이면,

$$K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g}).$$

또한, 고립된 특이점에 대해 유도된 특이점 범주를 사용하는 위의 기술은 고립된 코언-매콜리 특이점으로 확장되어 모든 특이 대수 곡선의 그로텐디크 군을 계산하는 기술을 제공한다. 축소는 일반적으로 매끄러운 곡선을 제공하고 모든 특이점은 코언-매콜리이기 때문이다.

응용

가상 다발

그로텐디크 군의 유용한 응용 중 하나는 가상 선형 다발을 정의하는 것이다. 예를 들어 매끄러운 공간을 삽입한 경우 $Y\hookrightarrow X$ 짧은 완전열이 있다

$0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0$

여기서 $C_{Y/X}$는 $X$에서 $Y$의 여법 다발이다. 특이 공간 $Y$이 있다면 매끄러운 공간 $X$에 묻힌 가상 여법 다발을 다음과 같이 정의한다.

$[\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]$

가상 다발의 또 다른 유용한 적용은 공간 교차점의 가상 접다발의 정의이다. $Y_{1},Y_{2}\subset X$를 매끄러운 사영 다형체의 사영 부분 다형체이라 하자. 그런 다음 교집합 $Z=Y_{1}\cap Y_{2}$의 가상 접다발을 정의할 수 있다.

$[T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.$

콘세비치는 그의 논문 중 하나에서 이 구성을 사용한다.

천 특성

천 특성류는 공간의 위상 K-이론에서 유리 코호몰로지(의 완비)로 가는 환의 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다. 선다발 $L$의 경우 천 특성 ch는 다음과 같이 정의된다.

$\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.$

더 일반적으로, 만약 $V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}$ 첫 번째 천 특성류 $x_{i}=c_{1}(L_{i})$가 있는 선다발의 직합이다. 천 특성은 가법적으로 정의된다.

$\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).$

천 특성은 텐서 곱의 천 특성류 계산을 용이하게 하기 때문에 부분적으로 유용하다. 천 특성는 히르체부르흐-리만-로흐 정리에서 사용된다.

등변 K-이론

등변 대수적 K-이론은 범주와 관련된 대수적 K-이론 이다. $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$ 대수적 스킴에서 등변 연접층 $X$ 선형 대수 군 $G$의 작용으로, 퀼런의 Q-구성을 통해; 따라서 정의에 따라

$K_{i}^{G}(X)=\pi _{i}(B^{+}\operatorname {Coh} ^{G}(X)).$

특히, $K_{0}^{G}(C)$는 $\operatorname {Coh} ^{G}(X)$의 그로텐디크 군이다. 이 이론은 1980년대에 토마슨에 의해 개발되었다. 구체적으로 그는 국소화 정리와 같은 기본 정리의 등변적으로 유사한 명제를 증명했다.

같이보기

• 보트 주기성
• KK 이론
• KR-이론
• 코호몰로지 이론 목록
• 대수적 K-이론
• 위상 K-이론
• 연산자 K 이론
• 그로텐디크-리만-로흐 정리

참조

• Atiyah, Michael Francis (1989). 《K-theory》. Advanced Book Classics 2판. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-09394-0. MR 1043170. 
• Friedlander, Eric; Grayson, Daniel, 편집. (2005). 《Handbook of K-Theory》. Berlin, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-27855-9. ISBN 978-3-540-30436-4. MR 2182598. 
• Park, Efton (2008). 《Complex Topological K-Theory》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 111. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85634-8. 
• Swan, R. G. (1968). 《Algebraic K-Theory》. Lecture Notes in Mathematics 76. Springer. ISBN 3-540-04245-8. 
• Karoubi, Max (1978). 《K-theory: an introduction》. Classics in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-79890-3. ISBN 0-387-08090-2. 
•  
• Hatcher, Allen (2003). “Vector Bundles & K-Theory”. 
• Weibel, Charles (2013). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Grad. Studies in Math 145. American Math Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. 

외부 환크

• 그로텐디크-리만-로흐
• 맥스 카루비의 페이지
• K-이론 프리프린트 아카이브

틀:Topology [[분류:K이론]] [[분류:번역이 검토되지 않은 문서]]