원에 0-수술을 가하면 하나의 원 또는 두 개의 원으로 만들 수 있다.
미분위상수학 에서 수술 (手術, 영어 : surgery 서저리[* ] )은 다양체 속의 원기둥을 도려내고 그 자리에 다른 모양의 원기둥을 붙여 전체의 위상을 바꾸는 연산이다. 수술은 고차원 (5차원 이상) 다양체의 연구에 매우 중요한 역할을 하며, 그 이론을 수술 이론 (手術理論, 영어 : surgery theory )이라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
p
+
q
{\displaystyle p+q}
차원 다양체
M
{\displaystyle M}
연속인 매장
ϕ
:
S
p
×
D
q
↪
M
{\displaystyle \phi \colon \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q}\hookrightarrow M}
여기서
S
p
{\displaystyle \mathbb {S} ^{p}}
는
p
{\displaystyle p}
차원 초구 이며
D
q
{\displaystyle \mathbb {D} ^{q}}
는
q
{\displaystyle q}
차원 닫힌 공 이다. 이 때
ϕ
{\displaystyle \phi }
의 상 에 해당하는
M
{\displaystyle M}
의 부분다양체
N
:=
im
ϕ
{\displaystyle N:=\operatorname {im} \phi }
의 경계는
D
p
+
1
×
S
q
−
1
{\displaystyle \mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}}
의 경계와 같다.
∂
(
N
)
≃
∂
(
S
p
×
D
q
)
≃
S
p
×
S
q
−
1
≃
∂
(
D
p
+
1
×
S
q
−
1
)
{\displaystyle \partial (N)\simeq \partial (\mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {D} ^{q})\simeq \mathbb {S} ^{p}\times \mathbb {S} ^{q-1}\simeq \partial (\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})}
그러므로
N
{\displaystyle N}
을 도려내고 그 자리에
(
D
p
+
1
×
S
q
−
1
)
{\displaystyle (\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1})}
를 채워넣어 새로운
p
+
q
{\displaystyle p+q}
차원 다양체
M
′
{\displaystyle M'}
을 만들 수 있다.
M
′
:=
(
M
∖
N
)
∪
∂
(
N
)
(
D
p
+
1
×
S
q
−
1
)
{\displaystyle M':=\left(M\setminus N\right)\cup _{\partial (N)}\left(\mathbb {D} ^{p+1}\times \mathbb {S} ^{q-1}\right)}
이와 같은 과정을
p
{\displaystyle p}
-수술 이라고 한다.
만약
M
{\displaystyle M}
이 매끄러운 다양체 일 경우, 수술한 자리 주변에 매끄럽게 하는 작업(smoothing )을 가해서
M
′
{\displaystyle M'}
이 매끄러운 구조를 가지도록 만들 수 있다. 조각적 선형 다양체 일 경우에도 비슷한 작업이 가능하다.
원 위의 수술 [ 편집 ]
원 위에서 0-수술을 다음과 같이 가하자.
즉, 원 속에서
S
0
×
D
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{1}}
을 도려내고, 그 속에 다른 방향으로
D
1
×
S
0
{\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{0}}
를 이어붙인다. 이 경우, 수술의 방향에 따라 두 가지가 존재하는데, 하나는 한 개의 원, 다른 하나는 두 개의 원을 얻는다.
구 위의 수술 [ 편집 ]
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
위에 1-수술을 가한다면, 두 개의 구를 얻는다.
구
S
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}
위에 0-수술을 가하자. 이 경우,
S
0
×
D
2
≅
D
2
⊔
D
2
{\displaystyle \mathbb {S} ^{0}\times \mathbb {D} ^{2}\cong \mathbb {D} ^{2}\sqcup \mathbb {D} ^{2}}
를 도려내면 원기둥
S
1
×
D
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {D} ^{1}}
을 얻으며, 여기에
D
1
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {D} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
을 이어붙인다면 이는 방향에 따라 원환면
T
2
=
S
1
×
S
1
{\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
또는 클라인 병 을 얻는다.
모스 함수 [ 편집 ]
n
+
1
{\displaystyle n+1}
차원 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 모스 함수
f
{\displaystyle f}
의 임곗값
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
이 정확히 하나의 임계점
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
에 대응한다고 하고,
x
{\displaystyle x}
의 모스 지표 가
p
+
1
{\displaystyle p+1}
이라고 하자. 모스 이론 에 따르면 이 때 충분히 작은
ϵ
∈
R
+
{\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}}
에 대하여 다양체
f
−
1
(
c
−
ϵ
)
{\displaystyle f^{-1}(c-\epsilon )}
를
f
−
1
(
c
+
ϵ
)
{\displaystyle f^{-1}(c+\epsilon )}
에
p
{\displaystyle p}
-수술을 가하여 얻을 수 있다.
참고 문헌 [ 편집 ]
Browder, William (1972). 《Surgery on simply-connected manifolds》 (영어). Berlin, New York: Springer-Verlag. MR 0358813 .
Ranicki, Andrew (2002). 《Algebraic and Geometric Surgery》. Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press (영어). ISBN 978-0-19-850924-0 . MR 2061749 .
Wall, C. T. C. (1999). 《Surgery on compact manifolds》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 69 2판. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0942-6 . MR 1687388 .
외부 링크 [ 편집 ]