수학에서, KR이론(KR理論, 영어: KR-theory)은 대합을 갖춘 위상 공간 위의 안정 벡터 다발을 분류하는, 위상 K이론의 일종이다.
대합 공간(영어: space with involution, Real space)
은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 콤팩트 하우스도르프 공간
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- 대합인 연속 자기 함수
, ![{\displaystyle \tau \circ \tau =\operatorname {id} _{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9d9f3201e313f60bfd3e96bfa26738929b8af0)
대합 공간
위의 대합 벡터 다발(영어: vector bundle with involution, Real vector bundle)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 복소수 벡터 다발
![{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbc91fed6c83d7d77f0756306608f8f4309538f)
위의 연속 대합 ![{\displaystyle \tau _{E}\colon E\to E}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d0fe8a09ad7a37fb44df584053dfa8b3bf2a06)
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
- 영단면을
라고 하면,
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}E&{\overset {\tau _{E}}{\to }}&E\\{\scriptstyle \!\!\!\!0_{E}}\uparrow {\scriptstyle \color {White}0_{E}\!\!\!\!}&&{\scriptstyle \color {White}\!\!\!\!\pi }\downarrow {\scriptstyle \pi \!\!\!\!}\\X&{\underset {\tau }{\to }}&X\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed69e34813a76de7525628eab0327f4669f2eeef)
는 (
위의) 실수 벡터 다발의 동형 사상이며, 임의의
에 대하여
는 복소수 벡터 공간의 반선형 변환이다. 즉,
및
에 대하여
이다.
대합 공간 위의 대합 벡터 다발들의 직합을 취할 수 있으며, 이에 따라서 주어진 대합 공간 위의 대합 벡터 다발의 동형류는 가환 모노이드를 이룬다. 이 가환 모노이드의 그로텐디크 구성을 대합 공간의 KR군이라고 한다.
다른 K이론과의 관계[편집]
복소수 벡터 다발의 위상 K군
과 실수 벡터 다발의 위상 K군
은 KR군의 특별한 경우로 주어진다.
콤팩트 하우스도르프 공간
위에 항등 함수인 대합
을 부여하자. 그렇다면, 이 대합 공간 위의 대합 벡터 다발
이 주어졌을 때, 항상 실수 벡터 다발
![{\displaystyle E_{\mathbb {R} }=\{v\in E\colon \tau _{E}(v)=v\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3c6bc1b32139031d4501a536eae4cce80a7b49)
![{\displaystyle E\cong E_{\mathbb {R} }\otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad78cd24ac6fa336a29f194d030e8119c8a7116f)
을 정의할 수 있으며, 따라서 그 위의 대합 벡터 다발(의 동형류)은
위의 실수 벡터 다발(의 동형류)과 동치이다. 따라서, 이 경우 KR군은 KO군과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {KR} ^{0}(X,\operatorname {id} _{X})=\operatorname {KO} ^{0}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c16011b1b7eb2448a166b788831299f8edb58e)
콤팩트 하우스도르프 공간
가 주어졌을 때,
위에 대합
![{\displaystyle (x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cde30b5866c0dc420dc20cbd83ec3e603fc6f78)
을 부여하자. 그렇다면,
위의 대합 벡터 다발은
위의 복소수 벡터 다발과 동치이다. 따라서, 이 경우
의 KR군은
의 KU군과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {KR} ^{0}(X\times \{\pm 1\},(x,\pm 1)\mapsto (x,\mp 1))=\operatorname {KU} ^{0}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c80b292106657de8055f8a4fdff25c04f7822308)
보트 주기성[편집]
일반 위상 K이론과 마찬가지로, 축소 KR군(영어: reduced KR-group)
을 정의할 수 있다.
유클리드 공간
위에 대합
![{\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)\qquad (x\in \mathbb {R} ^{m},\;y\in \mathbb {R} ^{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57a38670ee730479a3e710b91d3d7a38eef4ee91)
을 부여한 것을
으로 표기하자. 그 속의
차원 공 및 초구를 다음과 같이 표기하자.
![{\displaystyle \mathbb {D} ^{m,n}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{m,n}\colon \|x\|^{2}+\|y\|^{2}\leq 1\}\cong \mathbb {D} ^{m+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22aa60d85a8fb88a8c05e6661bd8dc03db86d40d)
![{\displaystyle \mathbb {S} ^{m,n}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{m,n}\colon \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=1\}\cong \mathbb {S} ^{m+n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86de5ec609796eafbd664937dad118ba9b04f49f)
그렇다면, 다음과 같이 두 개의 등급을 갖는 (축소) KR군들을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {KR} ^{m,n}(X)=\operatorname {KR} ^{0,0}(X\times \mathbb {D} ^{m,n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f86fa0a3b2e5729e28d85d3de8e4a1bd9769ef)
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KR}} ^{m,n}(X)=\operatorname {\widetilde {KR}} ^{0,0}(X\wedge \mathbb {D} ^{m,n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64fdcb9ccbdc5804fecea123f55fcb24a66b130a)
(여기서
는 분쇄곱이다.) 그렇다면, 다음과 같은 보트 주기성(영어: Bott periodicity)이 성립한다.
![{\displaystyle \operatorname {KR} ^{m,n}(X)\cong \operatorname {KR} ^{m+1,n+1}(X)\cong \operatorname {KR} ^{m+8,n}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39edcf65e378e3a14cf96da0fd9c06829e481b2b)
즉, KR군은 오직
에만 의존한다. 보통
![{\displaystyle \operatorname {\widetilde {KR}} ^{m,n}(X)=\operatorname {\widetilde {KR}} ^{n-m}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931dcec2e0ad5b232d85d75deb6471c8cf7c4643)
으로 표기한다. 특히,
은 ‘
차원 초구’로 해석되며, 이를 통하여 음의 차원의 초구를 생각할 수 있다.
실수 · 복소수 K이론의 보트 주기성은 KR이론의 보트 주기성의 특수한 경우이다.
끈 이론에서, 오리엔티폴드가 주어진 시공간은 대합 공간을 이루며, 그 위의 D-막들은 KR군에 의하여 분류된다.[1]:§6
1966년에 마이클 아티야가 도입하였다.[2] 이름 ‘KR’에서, ‘K’는 원래 K이론에서 딴 것이다. (이는 독일어: Klasse 클라세[*]의 첫 글자이다.) ‘R’는 영어: real 리얼[*]의 첫 글자이다.
외부 링크[편집]