베르 공간

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일반위상수학에서, 베르 공간(Baire空間, 영어: Baire space)은 가산개의 열린 조밀 집합들의 교집합이 조밀할 수 있도록, "충분한 수의" 점들을 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간베르 공간이라고 한다.

성질[편집]

베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합여집합공집합이 아니다.

함의 관계[편집]

베르 범주 정리(Baire範疇定理, 영어: Baire category theorem)는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.[1]:57[2]:415–417

제1 베르 범주 정리의 증명:

완비 거리 공간 속의 조밀 열린집합들의 열 및 임의의 점 및 양의 실수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

가 존재함을 보이면 족하다.

이제, 는 모두 조밀 열린집합이므로

점렬 및 양의 실수열 을 고를 수 있다.

그렇다면, 코시 열이므로 극한 를 가지며, 정의에 따라

이다.

제2 베르 범주 정리의 증명:

국소 콤팩트 하우스도르프 공간 조밀 열린집합들의 열 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포콤팩트 집합열린집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 공집합이 아님을 보이면 족하다.

이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 콤팩트 근방을 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 을 다음과 같이 고를 수 있다.

  • 공집합이 아니다.

이제 칸토어의 교점 정리에 의하여

공집합이 아니다.

제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 일종의 선택 공리가 필요하다.[7]

연산에 대한 닫힘[편집]

베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다.[3]:297 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다.

베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.[3]:299

베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다.

가 베르 공간, 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 자연수 n에 대해 연속 함수들인 fn:X → Y가 이루는 함수열이 모든 X 상의 점에 대해 f:X → Y로 점별수렴한다면, f가 연속 함수인 점들의 집합은 X의 조밀 집합이다.[3]:297

[편집]

공집합은 (자명하게) 베르 공간이다.

무리수 집합은 베르 공간이다.[3]:299

모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다.

모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다.

응용[편집]

베르의 범주 정리를 응용하면 다음과 같은 여러 흥미로운 결과를 얻을 수 있다.

연속이지만 어디서나 미분 불가능한 함수[편집]

베르의 제1 범주 정리의 따름정리로, 예컨대 [0, 1]에 정의된 실수함수연속함수이지만 어떤 점에서도 미분가능하지 않은 함수가 존재함을 보일 수 있다.[6]:238–240 이 조건을 성질 E라고 하자. 증명의 개략은 다음과 같다.

  1. 연속 함수의 집합 위에 거리 함수 를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다.
  2. [0, 1] 안의 적어도 한 점에서 미분 가능한 연속 함수의 집합은 안에서 제1 범주 집합이다. 따라서, 그 여집합공집합이 아니다.

유리수에서만 연속인 함수의 부재[편집]

베르의 범주 정리를 이용하면 실수가 정의역인 실수값 함수 중 모든 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다는 것도 보일 수 있다.[6]:237–238 증명의 개략은 다음과 같다.

조밀 집합이며, 함수 에서 연속 함수라고 하자. 이 경우, 가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.

역사[편집]

실직선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(영어: William Fogg Osgood, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.[8][9]

이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다.[10][11]

참고 문헌[편집]

  1. Bredon, Glen E. (1993). 《Topology and Geometry》 (영어). Springer. 
  2. 박대희; 안승호 (2009). 《위상수학》. 경문사. 
  3. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  4. Rudin, Walter (1987). 《Real and complex analysis》 (영어). McGraw-Hill. 
  5. 유정옥 (2006). 《알기쉬운 위상수학》. 교우사. 
  6. 김승욱 (2004). 《위상수학: 집합론을 중심으로》 2판. 경문사. ISBN 89-7282-587-5. 
  7. Blair, Charles E. (1977). “The Baire category theorem implies the principle of dependent choices”. 《Bulletin de l’Académie Polonaise des Sciences. Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques》 (영어) 25 (10): 933–934. ISSN 0001-4117. Zbl 0377.04011. 
  8. Osgood, William Fogg (1897년 4월). “Non-uniform convergence and the integration of series term by term”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 19 (2): 155–190. doi:10.2307/2369589. ISSN 0002-9327. JFM 28.0221.01. JSTOR 2369589. 
  9. Osgood, William Fogg (1901). “Note on the functions defined by infinite series whose terms are analytic functions of a complex variable; with corresponding theorems for definite integrals”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 3 (1–4): 25–34. doi:10.2307/1967630. ISSN 0003-486X. JFM 32.0399.01. JSTOR 1967630. MR 1502274. 
  10. Baire, R. (1899). “Sur les fonctions de variables réelles”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (프랑스어) 3: 1–123. doi:10.1007/BF02419243. ISSN 0373-3114. JFM 30.0359.01. 
  11. Jones, Sara Hawtrey (1999). “Applications of the Baire category theorem”. 《Real Analysis Exchange》 (영어) 23 (2): 363–394. ISSN 0147-1937. MR 1640007. Zbl 0943.26013. 

바깥 고리[편집]