미분기하학과 이론물리학에서 마타이-퀼런 형식(മത്തായി-Quillen形式, 영어: Mathai–Quillen form)은 벡터 다발의 톰 특성류를 표현하는 미분 형식이며, 벡터 다발의 올 방향으로 가우스 함수를 따른다. 무한 차원 공간 위의 유한 차원 벡터 다발에 대하여 정의될 수 있으며, 이는 위상 양자장론과 깊은 관계를 가진다.
다음이 주어졌다고 하자.
- (유한 차원) 연결 유향 매끄러운 다양체
![{\displaystyle M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
- (유한 차원) 콤팩트 리 군
![{\displaystyle G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
-주다발 ![{\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec3ac13b914268ade0dffec637f45921cae10c4)
- 유한 짝수 차원 실수 내적 공간
![{\displaystyle (F,\langle -,-\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4688abcbdb267f2853d9e0edbe3cb2fb52915a7e)
의 유한 짝수 차원 직교 표현
.
- 이로부터 연관 벡터 다발 유한 짝수 차원 벡터 다발
을 정의할 수 있으며, 그 올 위에는 양의 정부호 내적이 주어진다.
위의 주접속
- 이로부터
의 단면에 대해서도 벡터 다발 접속이 주어진다.
그렇다면,
위에 다음과 같은 미분 형식을 정의하자.
![{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{2m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}B\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798538c2a48f7bc0afe93870f0f3d5be688d33d0)
![{\displaystyle S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B]=-B^{i}B_{i}/2+i\xi ^{i}B_{i}-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53fea8af442485628d1cc48f3b4e106436be43bd)
여기서
는
의 벡터 지표이다. 이는
의 내적을 통하여 올리거나 내릴 수 있다.
는 주접속
의 주곡률
의
에 의한 표현이다.
은
위의 데카르트 좌표계를 이룬다. 이들의 공변 미분
는
위의
-불변 1차 미분 형식들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는
위의 1차 미분 형식을 이룬다.
는
개의 형식적 반가환 변수
에 대한 베레진 적분이다. 변수
는 홀수차 (가환) 미분 형식과 반가환한다.
은
위의 2차 미분 형식과 1차 미분 형식의 합이다. 그 (형식적) 지수 함수는 미분 형식 쐐기곱에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이
인 항만을 골라낸다.
는 스칼라 보조장
에 대한 적분이다.
즉, 다음과 같다.
기호 |
설명 |
에 대한 변환 |
가환성 |
위의 미분 형식 차수
|
![{\displaystyle \xi ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1d3c821308fd36d7997b918b1ff6abfb38015a) |
데카르트 좌표 |
기본 표현 |
가환 |
0
|
![{\displaystyle \nabla \xi ^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124eaf3687344e0c29eb7e620f2c59624be174ad) |
데카르트 좌표 |
기본 표현 |
가환 |
1
|
![{\displaystyle \chi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a2f6b3480849cdeaf9ca8d5c628ac3a3eb2ad9) |
형식적 그라스만 변수 |
(쌍대) 기본 표현 |
반가환 |
0
|
![{\displaystyle \rho _{ij}(\Omega _{\nabla })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2220f7e00981af81de6e9d82d406b928cbc73e04) |
주곡률 |
딸림표현 |
가환 |
2
|
![{\displaystyle B_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82cda0578ec6b48774c541ecb9bee4a90176e62f) |
보조장 |
기본 표현 |
가환 |
0
|
보조장
에 대한 적분을 취하면, 다음을 얻는다.
![{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324ebc24ec4faa9149e45eb636fad1b981b52ce3)
![{\displaystyle S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }]=-\xi _{i}\xi ^{j}/2-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd7d1d0056efe5c384b2903905025198f339f94)
이 작용은 초대칭
![{\displaystyle \delta \chi _{i}=B_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37538ac2f0cd6c50f324441172ef75c870b84c61)
![{\displaystyle \delta \xi _{i}=\nabla \xi _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/875e37a13652aec37f4acec8c6bf4f1637d657ce)
![{\displaystyle \delta B^{i}=\Omega ^{ij}\chi _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f80eb985ccb37840ddc5d9760316403f6aa7ef4)
을 가지며, 이에 따라
![{\displaystyle S=\delta (\chi _{i}(\mathrm {i} \xi ^{i}-B^{i}/2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a75b2a1704a8a9306b6aa994d8057f94d51e1783)
이다.
베레진 적분에 의하여,
는
위의
차 미분 형식을 이룬다. 정의에 따라 이는
-불변이므로, 연관 벡터 다발
위의
차 미분 형식을 이룬다. 또한, 이는 초대칭
에 의하여 닫힌 미분 형식이다. 이를 마타이-퀼런 형식이라고 한다.
무한 차원에서는
등이 무한대가 되기 때문에 이 공식을 직접 해석할 수 없지만, 일부 경우 양자장론의 경로 적분 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다.
만약
가 유한 차원 매끄러운 다양체일 때,
의 마타이-퀼런 형식
![{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)\in \Omega ^{2m}(E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acc4d441fa12d1a86f18be8dd56dbb26466bd60)
의 드람 코호몰로지 동치류
![{\displaystyle [\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}\in \operatorname {H} ^{2m}(E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f06d3c3fe4ab211c106ae11a159fb89d440c781)
는
의 오일러 특성류
![{\displaystyle \operatorname {e} (E)\in \operatorname {H} ^{2m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a72b17a9f2320b6886f40a0f2b91aecd6f5d6648)
의 실수 계수와 같다.
![{\displaystyle (\operatorname {e} (E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} )=[\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199724501f165fd013f4fa01ae832b16d9187be9)
특히, 이는 사용한 단면
에 의존하지 않는다.
그러나 무한 차원에서는 마타이-퀼런 형식은 일반적으로
에 의존하게 된다.
다음과 같은 경우를 생각하자.
는
차원 유한 차원 콤팩트 리만 다양체이다.
는 둘레가
인 원이다.
는 유한 에너지 고리들로 구성된 소볼레프 공간이다. 이는 힐베르트 다양체이며,
의 고리 공간(과 호모토피 동치)이다. 즉, 가측 함수
가운데, 미분
가 거의 어디서나 존재하며, L2 르베그 공간에 속하는 것들로 구성된다.
는 직교군
에 대한 게이지 군
이며,
는 리만 다양체
의 틀다발로서 유도된다.
이며,
는 함수의 합성으로 정의된다. 이에 따라,
는 그 접다발이다.
- 단면
는 속력
이다. 그 영점은 상수 함수 고리들의 공간이다.
이 경우,
![{\displaystyle Z=(2\pi )^{-(\dim M)/2}\int _{M}\operatorname {Pf} (\operatorname {Riem} )=(2\pi )^{-(\dim M)/2)}\chi (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28f2bb7d9e486822ae04afd3f806b7cf96777bf9)
을 얻는다. 이는
의 L2 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 초대칭 양자역학의 분배 함수와 일치한다.
만약
는 어떤 4차원 매끄러운 다양체
위의
-주다발
의 주접속들의 공간이다.
는
위의,
-값 자기 쌍대 2차 미분 형식들의 공간이다.
는 2차 미분 형식을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다.
이에 따라,
의 영점은 반 자기 쌍대 미분 형식들의 공간이다. 만약 이 공간이 0차원이라면 (점으로 구성된다면), 도널드슨 이론은 이 공간의 점의 수를 계산한다.
마타이 바르기스(말라얄람어: മത്തായി വർഗീസ്, 영어: Mathai Varghese)와 대니얼 퀼런이 1986년에 도입하였다.[1] 이후 마이클 아티야와 리사 제프리(영어: Lisa Jeffrey)가 이 개념이 무한 차원에서 위상 양자장론에 해당한다는 것을 증명하였다.
- ↑ Mathai, Varghese; Quillen, Daniel (1986). “Superconnections, Thom classes and equivariant differential forms”. 《Topology》 25 (1): 85–110.