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\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)^\times&\subset&\operatorname{Cliff}(V,Q;K)^\times |
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\operatorname{Cliff}_0(V,Q;K)^\times&\subset&\operatorname{Cliff}(V,Q;K)^\times |
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\end{matrix}</math> |
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\end{matrix}</math> |
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=== 체 위의 클리퍼드 군 === |
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<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]라고 하고, <math>V</math>가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 그 위의 [[비퇴화 이차 형식]]이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은 <math>K</math>-[[대수군]]의 [[짧은 완전열]]을 이룬다. |
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:<math>\begin{matrix} |
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&&1&&1&&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\mu_2(K)&\to&K^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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⚫ |
1 &\to &\operatorname{Pin}(V,Q;K) &\to &\operatorname \Gamma(V,Q;K) &\to &K^\times &\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1 &\to &\ operatorname{\ Omega}(V,Q;K) &\to &\operatorname O(V,Q;K) &\to &K^\times/(K^\times)^2 &\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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&&1&&1&&1 |
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\end{matrix}</math> |
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여기서 |
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* <math>\mu_2(K)=\{a\in K^\times\colon a^2=1\}</math>은 <math>K</math>에서 [[1의 거듭제곱근|1의 제곱근]]의 [[대수군]]이다. 만약 <math>K</math>의 표수가 2라면 이는 [[자명군]]이며, 아니라면 이는 크기 2의 [[순환군]]이다. |
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* <math>(K^\times)^2\subseteq K^\times</math>는 <math>K^\times</math> 속의 제곱수들의 [[부분군]]이다. [[몫군]] <math>K^\times/(K^\times)^2</math>는 <math>K</math>의 [[제곱 유군]]이다. |
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* 준동형 <math>\Gamma(V,Q;K)\to K^\times</math>은 스피너 노름이다. 마찬가지로 <math>\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2</math> 역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, [[제곱 유군]] 값을 갖는) 스피너 노름이다. |
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* <math>\operatorname\Omega(V,Q;K)\subseteq\operatorname O(V,Q;K)</math>는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, [[직교군]] <math>\operatorname O(V,Q;K)</math>의 부분군이다. |
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* 준동형 <math>\operatorname\Gamma(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)</math>는 클리퍼드 군의 <math>V</math> 위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다. <math>\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname{\Omega}(V,Q;K)</math> 역시 마찬가지다. |
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위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다. |
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:<math>\begin{matrix} |
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&&1&&1&&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\mu_2(K)&\to&K^\times&\to&(K^\times)^2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&K^\times&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&K^\times/(K^\times)^2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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&&1&&1&&1 |
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\end{matrix}</math> |
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(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다. |
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:<math>\begin{matrix} |
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&&1&&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\mu_2(K)&\to&\mu_2(K)&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\operatorname{Spin}(V,Q;K)&\to&\operatorname{Pin}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\operatorname{S\Omega}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Omega}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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&&1&&1&&1 |
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\end{matrix}</math> |
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마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다. |
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:<math>\begin{matrix} |
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&&1&&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&K^\times&\to&K^\times&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\operatorname{S\Gamma}(V,Q;K)&\to&\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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1&\to&\operatorname{SO}(V,Q;K)&\to&\operatorname{O}(V,Q;K)&\to&\mathbb Z/2&\to&1\\ |
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&&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\ |
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&&1&&1&&1 |
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\end{matrix}</math> |
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여기서 |
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* <math>\operatorname{\Gamma}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 딕슨 불변량이며, <math>\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 그 제한이다. |
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* <math>\operatorname O(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며, <math>\operatorname{SO}(V,Q;K)\to\mathbb Z/2</math>는 그 제한이다. |
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=== 실수 계수 === |
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=== 실수 계수 === |
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핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 [[정규 부분군]]은 스핀 군과 같다. |
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핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 [[정규 부분군]]은 스핀 군과 같다. |
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:<math>\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\ker D=\{x\in\operatorname{Pin}(V,Q;K)\colon D(x)=0\}</math> |
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:<math>\operatorname{Spin}(V,Q;K)=\ker D=\{x\in\operatorname{Pin}(V,Q;K)\colon D(x)=0\}</math> |
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(스)핀 군은 다음과 같은 군의 [[완전열]]에 등장한다. |
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:<math>1\to \{\pm1\}\to\operatorname{Pin}(V,Q;K)\to\operatorname O(V,Q;K)\to K^\times /(K^\ times)^2</math> |
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:<math>1\to\{\ pm1\}\to\operatorname{Spin}(V,Q;K)\to\operatorname {SO}(V,Q;K)\to K^\times/(K^\times)^2 </math> |
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(여기서 <math>\{\pm1\}</math>은 <math>\operatorname{char}K=2</math>일 경우 [[자명군]]이며, 아닐 경우 크기 2의 [[순환군]]이다.) |
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== 참고 문헌 == |
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== 참고 문헌 == |
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{{각주}} |
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{{각주}} |
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* {{서적 인용 | last=Porteous | first=Ian R. | title=Clifford algebras and the classical groups | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-55177-9 | 날짜=1995-10|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=50|doi=10.1017/CBO9780511470912|mr=1369094|zbl=0855.15019|언어=en}} |
|
* {{서적 인용 | last=Porteous | first=Ian R. | title=Clifford algebras and the classical groups | publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge | isbn=978-0-521-55177-9 | 날짜=1995-10|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|권=50|doi=10.1017/CBO9780511470912|mr=1369094|zbl=0855.15019|언어=en}} |
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|
* {{서적 인용 | 장=Quadratic forms and automorphic forms | 이름=Jonathan | 성=Hanke | zbl = 1282.11017 | arxiv=1105.5759 | 제목=Quadratic and higher degree forms | editor1-last=Alladi|editor1-first= Krishnaswami | editor2-last = Bhargava |editor2-first= Manjul | editor2-link=만줄 바르가바 | editor3-last= Savitt | editor3-first= David |editor4-last= Tiep|editor4-first= Pham Huu | isbn=978-1-4614-7487-6 | 총서 = Developments in Mathematics | 권=31 | 쪽=109-168 | 날짜=2013 | 출판사=Springer-Verlag | bibcode=2011arXiv1105.5759H | doi = 10.1007/978-1-4614-7488-3_5 | issn=1389-2177 |언어=en}} |
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== 바깥 고리 == |
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== 바깥 고리 == |
이차 형식 이론에서, 클리퍼드 군(Clifford群, 영어: Clifford group)은 클리퍼드 대수의 특별한 가역원들로 구성되는 군이며, 직교군의 특정한 확대이다.
정의
국소 동차 원소
가환환
가 주어졌을 때,
-등급
-대수
의 원소
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원소를 국소 동차 원소(영어: locally homogeneous element)라고 한다.[1]:233, Lemma 5.1.4[2]:149, §III.6.1
,
인 원소
가 존재한다.
- 모든 소 아이디얼
에 대하여,
는 동차 원소이다. 여기서
는 환의 스펙트럼이며,
는
에서의 가환환의 국소화이다.
- 모든 극대 아이디얼
에 대하여,
는 동차 원소이다. 여기서
는
에서의 가환환의 국소화이다.
(물론
가 체인 경우, 모든 국소 동차 원소는 동차 원소이다.) 국소 동차 원소들은 곱셈에 대하여 닫혀 있으며, 만약 가역원이라면 그 역원 역시 국소 동차 원소이다. 따라서 국소 동차 가역원들의 군
은
의 가역원군
의 부분군을 이룬다.
![{\displaystyle A_{0}^{\times }\subseteq A_{\text{lh}}^{\times }\subseteq A^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7fc3a074058f76050abf80ca3b02f7b04faeed)
국소 동차 가역원
가 주어졌으며,
가 위 조건에 의하여 존재하는 환 원소라고 할 때,
이며, 다음과 같은
-자기 동형을 정의할 수 있다.[1]:234[2]:158, §III.6.5
![{\displaystyle \Theta _{a}\colon A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb20406b17af45fa9f37906d7770af75d0c077f)
![{\displaystyle \Theta _{a}\colon b\mapsto (1-k)xax^{-1}+kx\alpha (a)x^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ab6f53e9fa860e3a942c4e66ea41a14f4168dc)
여기서
![{\displaystyle \alpha \colon (a_{0}+a_{1})\mapsto (a_{0}-a_{1})\qquad \forall a_{0}\in A_{0},a_{1}\in A_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b852eb2752493c5770e721e5dc33eb82c8dde42)
는
등급에 의하여 정의되는 자기 동형이다.
클리퍼드 군
가환환
위의 클리퍼드 대수
의 클리퍼드 군(영어: Clifford group)
![{\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\subseteq (\operatorname {Cliff} (V,Q))_{\text{lh}}^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46958f522909db0fc0412fbd1ee1112f899bea53)
은 다음과 같은 원소
로 구성된, 가역원군의 부분군이다.[2]:228, §IV.6.1
는 가역원이며 국소 동차 원소이다.
이다.
- 모든
에 대하여,
이다.
즉, 클리퍼드 군은 클리퍼드 군의 가역원군 속의, 직교 변환을 정의하는 원소이다.
가환환
위의 클리퍼드 대수
의 특수 클리퍼드 군(영어: special Clifford group)
![{\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)\subseteq \Gamma (V,Q;K)\subseteq \operatorname {Cliff} (V,Q)^{\times }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96fe83746293a1b54992121c128359ffdcaa237)
은 다음과 같다.[2]:228, §IV.6.1
![{\displaystyle \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)=\Gamma (V,Q;K)\cap \operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b738db2b75056090da4fb376c7ff75cddf0b147e)
즉, 특수 클리퍼드 군은 클리퍼드 군 가운데, 짝수 등급을 갖는 부분군이다.
스핀 군과 핀 군
클리퍼드 군
의 원소 가운데, 다음과 같은 부분군을 핀 군(영어: pin group)이라고 한다.[2]:230, §IV.6.2
![{\displaystyle \operatorname {Pin} (V,Q;K)=\left\{x\in \Gamma (V,Q;K)\colon \alpha (x)x=1\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b687027601c8284bea65e3e7ba47973f36b262)
마찬가지로, 다음과 같은 부분군을 스핀 군(영어: spin group)이라고 한다.[2]:230, §IV.6.2
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\operatorname {Pin} (V,Q;K)\cap \operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264328b2c46bf6b6af483e930a3c329f25ad1470)
성질
임의의 가환환
위의 가군
위의 이차 형식
에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\subset &\operatorname {Pin} (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\subset &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)\\\cap &&\cap \\\operatorname {Cliff} _{0}(V,Q;K)^{\times }&\subset &\operatorname {Cliff} (V,Q;K)^{\times }\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66c8942cbf6bde621745d432772f4bdc14ba854)
체 위의 클리퍼드 군
가 체라고 하고,
가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이며,
가 그 위의 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 가환 그림이 존재하며, 이 그림의 모든 행과 열은
-대수군의 짧은 완전열을 이룬다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aa1aea848d74746ab6789fd161c8cd927b958f)
여기서
은
에서 1의 제곱근의 대수군이다. 만약
의 표수가 2라면 이는 자명군이며, 아니라면 이는 크기 2의 순환군이다.
는
속의 제곱수들의 부분군이다. 몫군
는
의 제곱 유군이다.
- 준동형
은 스피너 노름이다. 마찬가지로
역시 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 정의되는, 제곱 유군 값을 갖는) 스피너 노름이다.
는 스피너 노름이 1인 원소로 구성되는, 직교군
의 부분군이다.
- 준동형
는 클리퍼드 군의
위의 자연스러운 작용을 통해 정의된다.
역시 마찬가지다.
위 그림에서 모두 짝수 등급 원소로 국한하여 다음과 같은 가환 그림을 얻을 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &K^{\times }&\to &(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &K^{\times }/(K^{\times })^{2}&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7379aee20d4c1839b3952027da17b6ea7ad75a)
(스)핀 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\mu _{2}(K)&\to &\mu _{2}(K)&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {Spin} (V,Q;K)&\to &\operatorname {Pin} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Omega } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Omega } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d18832c2e0af890d9c452e4212487ed7f5bd81)
마찬가지로, (특수) 클리퍼드 군과 (특수) 직교군 사이의 관계는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&1\\&&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &K^{\times }&\to &K^{\times }&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {S\Gamma } (V,Q;K)&\to &\operatorname {\Gamma } (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &\operatorname {SO} (V,Q;K)&\to &\operatorname {O} (V,Q;K)&\to &\mathbb {Z} /2&\to &1\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\&&1&&1&&1\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8444458d1b2acffed2a6a8be6493081775aa1c4a)
여기서
는 딕슨 불변량이며,
는 그 제한이다.
는 (클리퍼드 군의 원소의 동치류에 대하여 잘 정의되는) 딕슨 불변량이며,
는 그 제한이다.
실수 계수
이며,
가
차원 실수 벡터 공간이며,
가 비퇴화 이차 형식일 때,
의 가역원군
은
차원 리 군을 이룬다. 만약
가 음의 정부호 이차 형식이라면,
는 두 개의 연결 성분을 가지며, 단위원을 포함하는 성분
는 지표 2의 부분군이다. 또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
![{\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {O} (n;\mathbb {R} )\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd795dc19fad126a43aca13d8d3e6ef3f1b7b19)
![{\displaystyle 1\to \mathbb {R} ^{\times }\to \operatorname {S\Gamma } (0,n;\mathbb {R} )\to \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4906858f5f610bbfbf0b306eaf171f7c367026f)
즉,
는
차원 리 군이다. 전체 가역원군
은
차원 리 군이므로, 이는 여차원
의 부분군이다.
직교군과의 관계
정의에 따라, 클리퍼드 군
는
위의
-선형 표현을 갖는다. 이 작용은 이차 형식
를 보존하며, 따라서 직교군
![{\displaystyle \operatorname {O} (V,Q;K)=\{f\in \operatorname {End} _{K}(V)\colon Q\circ f=Q\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbcec4b8bcf428d3265152ae891bc3055b7b67fb)
으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle \Gamma (V,Q;K)\to \operatorname {O} (V,Q;K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8c355300d0491d1f2263f2ef4913c622d790901)
클리퍼드 군
는
를 부분 집합으로 포함한다 (
는
의 가역원군). 이 경우
![{\displaystyle v^{-1}={\frac {v}{Q(v)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/095d9137c9f95cf300351873570ceeea284a6362)
![{\displaystyle vu\alpha (v)^{-1}=-{\frac {vuv}{Q(v)}}={\frac {v^{2}u-v(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))}{Q(v)}}=u-v{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}\qquad \forall u\in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756939f22fb0b844c68ad5f468bce51ff24016b9)
이다. 즉,
의 작용은
를 축
에 대하여 반사시키는 것이다.
딕슨 불변량
가 체이며,
가 유한 차원 벡터 공간이며,
가 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 핀 군 위에는 다음과 같은 딕슨 불변량(영어: Dickson invariant)이라는 군 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle D\colon \operatorname {Pin} (V,Q;K)\to \mathbb {Z} /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7438e754e3d6ef8e4de09967e5c143f295295824)
![{\displaystyle D\colon x\mapsto \operatorname {rank} (u\mapsto u-xu\alpha (x)^{-1}){\bmod {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b97d8f8def4fff2baef4e9c098a3a87fa28539)
즉, 이는
로 인하여 생성되는
-선형 변환 빼기 1의 계수이다. 만약
의 표수가 2가 아니라면 딕슨 불변량은 다음과 같이 행렬식으로 주어진다.
![{\displaystyle D(x)=(-1)^{\det(u\mapsto xu\alpha (x)^{-1})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/573d89e4ae9e67f11b674ba1dab5145ad8452934)
핀 군의, 딕슨 불변량이 0인 정규 부분군은 스핀 군과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {Spin} (V,Q;K)=\ker D=\{x\in \operatorname {Pin} (V,Q;K)\colon D(x)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd66e9c11b7888d90e3539bb439903d5fe761fd6)
참고 문헌
바깥 고리