믹스마스터 우주

일반 상대성 이론에서 믹스마스터 우주(Mixmaster宇宙, 영어: Mixmaster universe)는 SU(2) 대칭을 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다. 이는 혼돈적 성질을 보인다.

정의

가설 풀이

믹스마스터 우주는 위상 공간으로서 $M=\mathbb {S} ^{3}\times \mathbb {R}$이다. 여기서 3차원 초구 $\mathbb {S} ^{3}$는 공간 방향이며, $\mathbb {R}$는 시간 방향이다. $\mathbb {S} ^{3}$ 위에 표준적인 구면 좌표계 $(\theta ,\psi ,\phi )$를 주자.

초구 $\mathbb {S} ^{3}$ 위의 세 1차 미분 형식

$\sigma _{1}=\sin \psi \mathrm {d} \theta -\cos \psi \sin \theta \mathrm {d} \phi$

$\sigma _{2}=\cos \psi \mathrm {\theta } +\sin \psi \sin \theta \mathrm {d} \phi$

$\sigma _{3}=-\mathrm {d} \psi -\cos \theta \mathrm {d} \phi$

을 부여할 수 있으며, 이는

$\mathrm {d} \sigma _{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}$

를 만족시킨다.

이제, $M$ 위의 다음과 같은 (부호수 −+++의) 리만 계량 가설 풀이를 생각하자.

$\mathrm {d} s^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+\sum _{i=1}^{3}\left(L_{i}(t)\right)^{2}\sigma _{i}^{2}$

이 가설 풀이는 비안키 분류 Ⅸ형의 일반형이며, $\mathbb {S} ^{4}$의 $\operatorname {SO} (4)\cong (\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2))/(\mathbb {Z} /2)$ 대칭 가운데 하나의 $\operatorname {SU} (2)$만을 보존한다. 이 가설 풀이는 세 개의 미지의 함수 $L_{1}(t),L_{2}(t),L_{3}(t)$를 갖는다. 이들은 편의상 우주의 팽창을 나타내는 함수 ($L_{i}$의 자연 로그의 산술 평균 × −1)

$\Omega (t)=-{\frac {1}{3}}\left(\ln L_{1}(t)+\ln L_{2}(t)+\ln L_{3}(t)\right)$

와 우주의 비등방성을 나타내는 두 함수

$\beta _{+}(t)=\Omega (t)-\ln(L_{3}(t))$

$\beta _{-}(t)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\ln {\frac {L_{1}(t)}{L_{2}(t)}}$

로 다시 쓸 수 있다. $\Omega$는 대략 우주의 너비의 로그 ×−1에 해당하며, $\Omega$가 더 클 수록 우주의 부피가 더 작다 (즉, 빅뱅은 $\Omega \to \infty$ 극한이다). 마찬가지로, $\beta _{\pm }$가 (양 또는 음으로) 0에서 더 멀 수록 우주는 더 일그러진 모양을 한다. 만약 $\beta _{+}=\beta _{-}=0$인 경우 (등방적 우주) 이는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량이 된다.

동역학

이제, 아인슈타인 방정식을 $\Omega (t)$와 $\beta _{\pm }(t)$에 대하여 적용할 수 있다. 사실, 일단 $\beta _{\pm }$(우주의 모양)을 $\Omega (t)$(우주의 크기)의 함수로 우선 풀 수 있다. 편의상 에너지-운동량 텐서와 우주 상수가 0이라고 가정하자 (즉, 리치 곡률이 0이라고 하자).

이제, $\Omega \to +\infty$ 극한(빅뱅 근처)에서, 아인슈타인 방정식은 다음과 같은 두 방정식이 된다.^{:1072, (5), (6)}

$4=\left({\frac {\mathrm {d} \beta _{+}}{\mathrm {d} \Omega }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} \beta _{-}}{\mathrm {d} \Omega }}\right)^{2}+4\Lambda (t)^{-1}\exp(-4\Omega (t))V(\beta _{+},\beta _{-})$

${\frac {\mathrm {d} \Lambda }{\mathrm {d} \Omega }}=-4\Lambda ^{-1}\exp(-4\Omega (t))V(\beta _{+},\beta _{-})$

(첫째 식에 의하여 $\Lambda (t)$를 정의할 수 있다.) 둘째 식에 의하여, $\Lambda$는 $\Omega \gg 1$일 때 거의 변화하지 않는다.

즉, 이 경우 $\Omega$를 일종의 "시간"으로 간주하고, ${\vec {\beta }}=(\beta _{+},\beta _{-})$를 일종의 "위치"로 간주한다면, 이는 시간 의존 라그랑지언^{:1072, (7)}

$L(\beta _{+},\beta _{-};\Omega )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\Lambda (\Omega )}}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}^{2}-{\frac {2V(\beta _{+},\beta _{-})}{{\sqrt {\Lambda (\Omega )}}\exp(4\Omega )}}$

에 의하여 묘사된다. (이 라그랑지언에서 $\Lambda$는 오직 $\Omega$만의 함수로 간주한다.) 여기서 퍼텐셜 $V(\beta )$는 다음과 같다.^{:1072, (8)}

$V(\beta _{+},\beta _{-})=1+{\frac {1}{3}}\exp(-4\beta _{+})-{\frac {4}{3}}\exp(-\beta _{+})\cosh({\sqrt {3}}\beta _{-})+{\frac {2}{3}}\exp(2\beta _{+})\left(\cosh \left(2{\sqrt {3}}\beta _{-}\right)-1\right)$

이 퍼텐셜의 벽은 매우 가파르게 증가한다. 시간 의존 "질량"에 해당하는 $\Lambda (\Omega )^{2}$가 우주 초기($\Omega \gg 1$)에는 매우 천천히 변한다. 따라서, 믹스마스터 우주의 빅뱅 근처에서의 시간 변화는 대략 일종의 "당구대" 위의 "당구공"의 운동으로 근사되는데, 이러한 동역학계는 혼돈적 현상을 보이는 대표적인 유이다.

성질

믹스마스터 우주가 혼돈적이라는 것은 1996년에 엄밀히 증명되었다.

믹스마스터 퍼텐셜

믹스마스터 우주의 퍼텐셜

$V(\beta _{+},\beta _{-})=1+{\frac {1}{3}}\exp(-4\beta _{+})-{\frac {4}{3}}\exp(-\beta _{+})\cosh({\sqrt {3}}\beta _{-})+{\frac {2}{3}}\exp(2\beta _{+})\left(\cosh \left(2{\sqrt {3}}\beta _{-}\right)-1\right)$

는 항상 임의의 $(\beta _{+},\beta _{-})\in \mathbb {R} ^{2}$에 대하여 $V\geq 0$을 만족시키며, 원점에서 $V(0,0)=0$이 성립한다.

원점 근처에서의 매클로린 급수는 다음과 같다.

$V(\beta _{+},\beta _{-})=2\beta _{+}^{2}+2\beta _{-}^{2}+O(\beta _{+}\beta _{-}^{2})+O(\beta _{-}^{4})$

이 퍼텐셜은 $\beta _{-}\mapsto -\beta _{-}$ 대칭을 가지며, 그 "바닥"은 대략 $\beta _{+}$ 축을 대칭축으로 하고, 원점($\beta _{+}=\beta _{-}=0$)을 중심으로 하는 이등변 삼각형의 모양을 한다.

이 이등변 삼각형의 각 "꼭짓점"은 사실 무한히 계속되는 "골짜기"의 모양을 하며, 이들의 위치는 각각 다음과 같다.

• $1\ll \beta _{+}$ $|\beta _{-}|^{-1}\gg \exp(\beta _{+})$. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다.

  $V=1+4\exp(2\beta _{+})\beta _{-}^{2}+O\left(\exp(2\beta _{+})\beta _{-}^{4}\right)+O\left(\exp(-\beta _{+})\right)$

• $1\ll -\beta _{+}$, $\beta _{-}\approx \pm {\sqrt {3}}\beta _{+}$. 이 경우, 퍼텐셜은 다음과 같다. 편의상 $\beta _{-}=\pm {\sqrt {3}}\beta _{+}\mp (\ln a)/{\sqrt {3}}$로 놓자.

  $V=1+{\frac {1}{3}}\exp(-4\beta _{+})(1-a)^{2}+O\left(\exp(2\beta _{+})\right)$

역사

미스너 (2009년 사진)

믹스마스터 브랜드 믹서 (1969년~1972년 경 생산)

찰스 윌리엄 미스너(영어: Charles William Misner, 1932~)가 1969년에 도입하였다. "믹스마스터"라는 이름은 미국의 가전 제품 회사 선빔프로덕츠(영어: Sunbeam Products, 舊名 시카고 유연 샤프트 회사 영어: Chicago Flexible Shaft Company)가 1930년부터 생산하기 시작한 믹서 브랜드 믹스마스터(영어: Mixmaster, 혼합mix 믹스^[*]의 달인master 마스터^[*])에서 딴 것이다.

미스너는 이 모형을 원래 우주론의 지평선 문제를 해결하기 위하여 개발하였다. 빅뱅 초기의 우주가 마치 "믹서"로 뒤섞은 듯한 혼돈적인 현상을 보인다면, 우주가 광역에 걸쳐 등방적인 것을 설명할 수 있기 때문이다. 그러나 실제 우주의 모형으로서, 믹스마스터 우주는 급팽창 이론으로 대체되었다.