가우스 법칙

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가우스 법칙(Gauss's law)은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 속의 알짜 전하량에 비례한다는 법칙이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다.

정의[편집]

가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 Divergence Theorem에 따라 서로 동등하다.

가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

\Phi = \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_0

여기서 \mathbf D변위장(전속밀도), d\mathbf{A} 는 표면 A 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터), Q는 폐곡면 속의 알짜 자유 전하량이다. \oint_A 는 표면 A전체에 대한 면적분이다.

가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_0

여기서 \nabla\cdot발산 연산자, \mathbf D변위장(전속밀도), \rho는 자유 전하 밀도다.

위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉, Q_0\rho_0는 매질 속의 분극 전하를 포함하지 않는다. 분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 공식은 다음과 같다.

\Phi = \oint_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = Q/\epsilon_0
\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0.

여기서 Q는 알짜 전하 (분극 전하 포함), \rho는 전하 밀도 (분극 전하 포함)다. \mathbf E=\mathbf D/\epsilon전기장이다. \epsilon_0는 진공의 유전율로, 기본 상수다.

적용[편집]

 E = { \sigma \over \epsilon_0 } (전도체 표면, σ는 단위면적당 전하량이다.)

 E = { \lambda \over 2 \pi \epsilon_0 r } (선, λ은 단위길이당 전하량이고, r은 가우스 표면까지의 거리이다.)

 E = { \sigma \over 2 \epsilon_0 } (면)

 E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {q \over r^2} (r≥R인 구의 표면)

 E=0 (r<R인 구의 표면)

 E = ({q \over 4 \pi \epsilon_0 R^3 })r (r≤R인 구의 단위면적당 전하량)

역사[편집]

카를 프리드리히 가우스가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.[1]

주석[편집]

  1. Bellone, Enrico (1980). 《A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution》. MIT Press. ISBN 0262520818

같이 보기[편집]