가우스 법칙

전자기학

전기 · 자기 정전기학 전하 쿨롱 법칙 전기장 변위장 전기 선속 가우스 법칙 전위 정전기 유도 전기 쌍극자 모멘트 편극 밀도 유전율 영상법 정자기학 앙페르 회로 법칙 전류 자기장 자기화 투자율 자기 선속 비오-사바르 법칙 자기 모멘트 가우스 자기 법칙 동전기학 로런츠 힘 기전력 전자기 유도 패러데이 법칙 맴돌이 전류 렌츠의 법칙 변위 전류 맥스웰 방정식 전자기장 리에나르-비헤르트 퍼텐셜 맥스웰 변형력 텐서 뒤처진 퍼텐셜 예피멘코 방정식 전기 회로 전기 저항 전기 용량 전도율 인덕턴스 임피던스 어드미턴스 전자기파와 전자기 복사 라모 공식 싱크로트론 방사선 사이클로트론 방사선 제동 복사 공변 공식 전자기장 텐서 4차원 전류 전자기 퍼텐셜 과학자 가우스 길버트 로런츠 맥스웰 베버 볼타 비오 앙페르 옴 외르스테드 쿨롱 키르히호프 테슬라 패러데이 포인팅 헤르츠 헤비사이드 헨리

가우스 법칙(Gauss's law)은 폐곡면을 통과하는 전기 선속이 폐곡면 속의 알짜 전하량에 비례한다는 법칙이다. 맥스웰 방정식 가운데 하나다.

정의

가우스 법칙은 미분 형태와 적분 형태가 있다. 두 형태는 스토크스 정리에 따라 서로 동등하다.

가우스 법칙의 적분 형태는 다음과 같다.

$\Phi = \oint_A \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} = Q_0$

여기서 $\mathbf D$는 변위장, $d\mathbf{A}$ 는 표면 A 위의 미소 면적을 나타내는 벡터 (그 지점의 접평면에서 바깥쪽을 향하는 법선 벡터), $Q$는 폐곡면 속의 알짜 자유 전하량이다. $\oint_A$ 는 표면 A전체에 대한 면적분이다.

가우스 법칙의 미분 형태는 다음과 같다.

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_0$

여기서 $\nabla\cdot$ 는 발산 연산자, $\mathbf D$는 변위장, $\rho$는 자유 전하 밀도다.

위 공식은 자유 전하에 대한 가우스 법칙이다. 즉, $Q_0$와 $\rho_0$는 매질 속의 분극 전하를 포함하지 않는다. 분극 전하를 포함한 모든 전하에 대한 공식은 다음과 같다.

$\Phi = \oint_A \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = Q/\epsilon_0$

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\epsilon_0$.

여기서 $Q$는 알짜 전하 (분극 전하 포함), $\rho$는 전하 밀도 (분극 전하 포함)다. $\mathbf E=\mathbf D/\epsilon$는 전기장이다. $\epsilon_0$는 진공의 유전율로, 기본 상수다.

적용

$E = { \sigma \over \epsilon_0 }$ (전도체 표면, σ는 단위면적당 전하량이다.)

$E = { \lambda \over 2 \pi \epsilon_0 r }$ (선, λ은 단위길이당 전하량이고, r은 가우스 표면까지의 거리이다.)

$E = { \sigma \over 2 \epsilon_0 }$ (면)

$E = {1 \over 4 \pi \epsilon_0} {q \over r^2}$ (r≥R인 구의 표면)

$E=0$ (r<R인 구의 표면)

$E = ({q \over 4 \pi \epsilon_0 R^3 })r$ (r≤R인 구의 단위면적당 전하량)

역사

카를 프리드리히 가우스가 1835년에 발견하고, 1867년에 발표하였다.

같이 보기

• 맥스웰 방정식
• 발산 정리
• 카를 프리드리히 가우스