예피멘코 방정식

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전자기학에서, 예피멘코 방정식(Ефименко方程式, 영어: Jefimenko's equation)은 주어진 전하 밀도전류 밀도가 만드는 전자기장에 대한 방정식이다.[1]

역사[편집]

우크라이나 태생 미국 물리학자 올레크 예피멘코(우크라이나어: Оле́г Дми́триевич Ефиме́нко)가 자신이 1966년에 쓴 교과서에 이 공식을 이름 없이 언급하였고[2], 그 뒤 데이비드 그리피스(David J. Griffiths)가 "예피멘코 방정식"이라는 이름을 붙였다.[3]

정의[편집]

시간에 따라 변하는 전하 밀도 \rho(t,\mathbf y)전류 밀도 \mathbf J(t,\mathbf y)로 구성된 가 만드는 전자기장을 생각해 보자. 로렌츠 게이지 조건 아래, 이 계의 전위 \phi(t,\mathbf x)벡터 퍼텐셜 \mathbf A(t,\mathbf x)뒤처진 퍼텐셜이다.

\phi(t,\mathbf x)=\int\frac{\rho(t_\text{ret},\mathbf y)}{4\pi\epsilon_0r}\;d^3\mathbf y
\mathbf A(t,\mathbf x)=\int\frac{\mu_0\mathbf J(t_\text{ret},\mathbf y)}{4\pi r}\;d^3\mathbf y.

여기서 \mathbf r=\mathbf x-\mathbf y, r=\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert이고, t_\text{ret}=t-r/c은 뒤처진 시간이다.

이 뒤처진 퍼텐셜로부터 전기장자기장을 직접 계산할 수 있다.

\mathbf E(t,\mathbf x)=-\nabla\phi(t,\mathbf x)-\dot{\mathbf A}(t,\mathbf x)
\mathbf B(t,\mathbf x)=\nabla\times\mathbf A(t,\mathbf x).

여기에 위 뒤처진 퍼텐셜 공식을 대입하면 다음 식을 얻는다.

\mathbf E(\mathbf x, t) = \int
 \frac{(\rho(t_\text{ret},\mathbf y)+\dot\rho r(t_\text{ret},\mathbf y)/c)\hat{\mathbf r}-r\dot{\mathbf J}(t_\text{ret},\mathbf y)/c}
{4 \pi \epsilon_0 r^2}\;d^3 \mathbf y
\mathbf B(\mathbf x, t) = \int \frac{\mu_0(\mathbf J(t_\text{ret},\mathbf y)+\dot{\mathbf J}(t_\text{ret},\mathbf y))\times\hat{\mathbf r}}{4 \pi r^2} \;d^3 \mathbf y.

(여기서 \hat{\mathbf r}=\mathbf r/r=(\mathbf x-\mathbf y)/\Vert\mathbf x-\mathbf y\Vert\mathbf x-\mathbf y 방향의 단위벡터다.) 이 두 공식을 예피멘코 방정식이라고 부른다.

만약 전하 분포와 전류 분포가 시간에 따라 변하지 않는다면 (\dot\rho=0, \dot{\mathbf J}=0), 예피멘코 방정식은 다음과 같이 쿨롱 법칙비오-사바르 법칙이 된다.

\mathbf E(\mathbf x, t) = \int
 \frac{\rho(\mathbf y)\hat{\mathbf r}}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\;d^3 \mathbf y
\mathbf B(\mathbf x, t) = \int \frac{\mu_0\mathbf J(\mathbf y)\times\hat{\mathbf r}}{4 \pi r^2} \;d^3 \mathbf y.

주석[편집]

  1. Griffiths, David J. (1999). 〈§10.2.2 Jefimenko's equations〉, 《Introduction to Electrodynamics》, 3판 (영어), Addison-Wesley, 427쪽. ISBN 81-7758-293-3
  2. Jefimenko, Oleg D. (1966). 〈§15.7〉, 《Electricity and Magnetism: An Introduction to the Theory of Electric and Magnetic Fields》, 1판 (영어), New York: Appleton-Century-Crofts
  3. Griffiths, David J., Mark A. Heald (1991년 2월). Time‐dependent generalizations of the Biot–Savart and Coulomb laws. 《American Journal of Physics》 59 (2): 111. doi:10.1119/1.16589.