뒤처진 퍼텐셜

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전자기학에서, 뒤처진 퍼텐셜(retarded potential)은 뒤처진 시간 t-x/c에서의 전하전류 분포만을 반영하는 전기 퍼텐셜 또는 자기 퍼텐셜이다.

정의[편집]

전기장과 자기장이 생성되는 원천(source)인 전하 밀도전류 밀도가 시간에 따라 변화하는 경우, 소스에서 거리가 떨어진 지점에서 퍼텐셜은 그 순간의 전하밀도와 전류밀도에 영향을 받는 것이 아니라 과거의 전하밀도와 전류밀도에 따라 결정된다.

그 순간의 원천의 상태에 따라 영향을 받는 것이 아니라 과거의 상태에 영향을 받는 이유는 원천의 상태를 내포한 정보가 전달될 때 시간이 걸리기 때문이다. 이는 상대성 이론에서 정보 전달의 속도가 빛의 속도로 유한하다는 원리를 반영한 것이다.

연속적 분포의 전하 밀도와 전류 밀도의 뒤처진 퍼텐셜[편집]

전하 밀도전류 밀도가 연속적으로 분포한 경우, 로렌츠 게이지 조건아래에서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜 V와 뒤처진 벡터 퍼텐셜 \mathbf A는 다음과 같다.

V(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'},t_r)}{|\mathbf{r-r'}|} d^3\mathbf r'
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{|\mathbf{r-r'}|} d^3\mathbf r'
t_r = t -\frac{|\mathbf{r-r'}|}{c}

\mathbf{r'}은 원점과 원천 사이의 거리이고, t_r뒤처진 시간(retarded time)이다.

움직이는 점전하의 뒤처진 퍼텐셜[편집]

전하 밀도와 전류 밀도가 연속적으로 분포하는 것이 아니라 점전하가 움직이며 원천 역할을 하는 경우 로렌츠 게이지 조건 아래에서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜 V와 뒤처진 벡터 퍼텐셜 \mathbf A는 다음과 같다.

V(\mathbf r,t) = \frac1{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{|\mathbf{r-r'}| - (\mathbf{r-r'})\cdot \mathbf v/c}
\mathbf A(\mathbf r,t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\mathbf v}{|\mathbf{r-r'}| - (\mathbf{r-r'})\cdot \mathbf v/c}

여기서 \mathbf r'는 뒤처진 시간 t_r일 때 입자의 위치이고, \mathbf{v}는 뒤처진 시간 t_r일 때 입자의 속도이다. 이 퍼텐셜을 리에나르-비헤르트 퍼텐셜이라고 한다.