리에나르-비헤르트 퍼텐셜

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리에나르-비헤르트 퍼텐셜(Liénard–Wiechert potential)은 움직이는 대전된 입자가 만드는 뒤처진 전자기 퍼텐셜이다. 프랑스의 알프레드마리 리에나르(프랑스어: Alfred-Marie Liénard, 1869〜1958)가 1898년에, 독일의 에밀 요한 비헤르트(독일어: Emil Johann Wiechert, 1861〜1928)가 1900년에 독립적으로 유도하였다.

정의

전하 $q$를 가진 입자가 뒤처진 시각 $t-\Vert\mathbf y_\text{ret}\Vert/c$에 위치 $\mathbf y_\text{ret}$에 있었고, 속도가 $\dot{\mathbf y}_\text{ret}$이었다고 하자. 또한, 편의상 로렌츠 게이지 조건을 적용하자. 그렇다면 이 입자가 만든, 시각 $t$와 위치 $\mathbf x$에서의 전위 $\phi$와 벡터 퍼텐셜 $\mathbf A$는 다음과 같다.

$\phi(t,\mathbf x)=\frac q{4\pi\epsilon_0 r(1-\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)}$

$\mathbf A(t,\mathbf x)=\frac{\mu_0q\dot{\mathbf y}_\text{ret}}{4\pi r(1-\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)}$.

여기서

$\hat{\mathbf r}=\mathbf x-\mathbf y_\text{ret}/\Vert\mathbf x-\mathbf y_\text{ret}\Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 $\mathbf y_\text{ret}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $\mathbf x$를 가리키는 단위벡터이고,

$r=\Vert\mathbf x-\mathbf y_\text{ret}\Vert$

은 입자의 뒤처진 위치 $\mathbf y_\text{ret}$에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 $\mathbf x$까지의 거리다. $c$는 빛의 속도이고, $\epsilon_0$은 진공의 유전율이고, $\mu_0$은 진공의 투자율이다.

만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 ($\dot{\mathbf y}_\text{ret}=\mathbf0$) 입자의 퍼텐셜은 그냥 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

$\phi(t,\mathbf x)=\frac q{4\pi\epsilon_0r}$

$\mathbf A(t,\mathbf x)=\mathbf0$.

리에나르-비헤르트 장

리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장을 리에나르-비헤르트 장(Liénard–Wiechert field)이라고 하며, 다음과 같다.

$\mathbf E=\frac q{4\pi\epsilon_0(1-\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)^3}\left( \frac{(1-\Vert\dot{\mathbf y}_\text{ret}\Vert^2/c^2)(\hat{\mathbf r}-\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)}{r^2} +\frac{(\ddot{\mathbf y}_\text{ret}\times(\hat{\mathbf r}-\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c))\times\hat{\mathbf r}}{rc} \right)$

$\mathbf B=\hat{\mathbf r}\times\mathbf E/c$.

즉, 원거리장(far field)은 입자의 (뒤처진) 가속도 $\ddot{\mathbf y}_\text{ret}$에 비례한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다.

참고 문헌

• Griffiths, David J. (1999). 《Introduction to Electrodynamics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0138053260
• Jackson, J. D. (1962, 1975, 1998). 《Classical Electrodynamics》 (영어). New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1