리에나르-비헤르트 퍼텐셜

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리에나르-비헤르트 퍼텐셜(Liénard–Wiechert potential)은 움직이는 대전된 입자가 만드는 뒤처진 전자기 퍼텐셜이다. 프랑스의 알프레드마리 리에나르(프랑스어: Alfred-Marie Liénard, 1869〜1958)가 1898년[1]에, 독일의 에밀 요한 비헤르트(독일어: Emil Johann Wiechert, 1861〜1928)가 1900년[2]에 독립적으로 유도하였다.

정의[편집]

전하 q를 가진 입자가 뒤처진 시각 t-\Vert\mathbf y_\text{ret}\Vert/c에 위치 \mathbf y_\text{ret}에 있었고, 속도가 \dot{\mathbf y}_\text{ret}이었다고 하자. 또한, 편의상 로렌츠 게이지 조건을 적용하자. 그렇다면 이 입자가 만든, 시각 t와 위치 \mathbf x에서의 전위 \phi벡터 퍼텐셜 \mathbf A는 다음과 같다.

\phi(t,\mathbf x)=\frac q{4\pi\epsilon_0 r(1-\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)}
\mathbf A(t,\mathbf x)=\frac{\mu_0q\dot{\mathbf y}_\text{ret}}{4\pi r(1-\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)}.

여기서

\hat{\mathbf r}=\mathbf x-\mathbf y_\text{ret}/\Vert\mathbf x-\mathbf y_\text{ret}\Vert

은 입자의 뒤처진 위치 \mathbf y_\text{ret}에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 \mathbf x를 가리키는 단위벡터이고,

r=\Vert\mathbf x-\mathbf y_\text{ret}\Vert

은 입자의 뒤처진 위치 \mathbf y_\text{ret}에서부터 퍼텐셜을 계산하려는 위치 \mathbf x까지의 거리다. c빛의 속도이고, \epsilon_0은 진공의 유전율이고, \mu_0은 진공의 투자율이다.

만약 입자가 (뒤처진 시각에) 움직이지 않았다면 (\dot{\mathbf y}_\text{ret}=\mathbf0) 입자의 퍼텐셜은 그냥 쿨롱 퍼텐셜이 된다.

\phi(t,\mathbf x)=\frac q{4\pi\epsilon_0r}
\mathbf A(t,\mathbf x)=\mathbf0.

리에나르-비헤르트 장[편집]

리에나르-비헤르트 퍼텐셜로부터 계산한 전자기장리에나르-비헤르트 장(Liénard–Wiechert field)이라고 하며, 다음과 같다.

\mathbf E=\frac q{4\pi\epsilon_0(1-\hat{\mathbf r}\cdot\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)^3}\left(
\frac{(1-\Vert\dot{\mathbf y}_\text{ret}\Vert^2/c^2)(\hat{\mathbf r}-\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c)}{r^2}
+\frac{(\ddot{\mathbf y}_\text{ret}\times(\hat{\mathbf r}-\dot{\mathbf y}_\text{ret}/c))\times\hat{\mathbf r}}{rc}
\right)
\mathbf B=\hat{\mathbf r}\times\mathbf E/c.

즉, 원거리장(far field)은 입자의 (뒤처진) 가속도 \ddot{\mathbf y}_\text{ret}에 비례한다. 리에나르-비헤르트 장의 포인팅 벡터를 계산하여 입자가 방사하는 에너지의 양을 계산하면 라모 공식을 얻는다.

주석[편집]

  1. Liénard, A.-M. (1898년). Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique concentrée en un point et animée d’un movement quelconque. 《L’Éclairage Électrique》 16: 5–14, 53–59, 106–112.
  2. Wiechert, E. (1900년). Elektrodynamische Elementargesetze. 《Archives Néerlandes》 5: 549–573.

참고 문헌[편집]