가우스-요르단 소거법

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가우스-요르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)은 역행렬을 구하는 방법이다.

다음 예제와 같은 방법으로 풀이한다.

A = \begin{bmatrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   3 & -1 & 1  \\
   -1 & 3 & 4  \\
\end{bmatrix}

으로 주어진 행렬 A의 역행렬을 구하고자 하면,

\begin{align}
  \begin{bmatrix}
   \ A &\vert& I \  \\
\end{bmatrix}  &\rightarrow& \left[ \left. \begin{matrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   3 & -1 & 1  \\
   -1 & 3 & 4  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right] \qquad   \\ 
 &\rightarrow& \left[ \left. \begin{matrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   0 & 2 & 7  \\
   0 & 2 & 2  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   3 & 1 & 0  \\
   -1 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \right] \qquad  \\ 
 &\rightarrow& \left[ \left. \begin{matrix}
   -1 & 1 & 2  \\
   0 & 2 & 7  \\
   0 & 0 & -5  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   3 & 1 & 0  \\
   -4 & -1 & 1  \\
\end{matrix} \right]  
\end{align}

이 된다. 이것은 가우스 소거법에 의한 방법이다. 가우스-요르단 연산 절차에 따라 다음과 같이 변형한다. 주대각선의 원소가 모두 1이 되는 대각행렬로 변형한다.

\begin{align}
  && \left[ \left. \begin{matrix}
   1 & -1 & -2  \\
   0 & 1 & 3.5  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   -1 & 0 & 0  \\
   1.5 & 0.5 & 0  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right]  \qquad\qquad \\
 && \quad \rightarrow \left[ \left. \begin{matrix}
   1 & -1 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   0.6 & 0.4 & -0.4  \\
   -1.3 & -0.2 & 0.7  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right] \\ 
 && \quad \rightarrow \left[ \left. \begin{matrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & 1 & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix}
   -0.7 & 0.2 & 0.3  \\
   -1.3 & -0.2 & 0.7  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right] \quad 
\end{align}


A^{-1}=\left[ \begin{matrix}
   -0.7 & 0.2 & 0.3  \\
   -1.3 & -0.2 & 0.7  \\
   0.8 & 0.2 & -0.2  \\
\end{matrix} \right]

이 소거법의 이름은 카를 프리드리히 가우스빌헬름 요르단에서 따온 것이다.