가우스-요르단 소거법

가우스-요르단 소거법(Gauss Jordan Elimination)은 역행렬을 구하는 방법이다.

다음 예제와 같은 방법으로 풀이한다.

$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}$

으로 주어진 행렬 $A$의 역행렬을 구하고자 하면,

$\begin{align} \begin{bmatrix} \ A &\vert& I \ \\ \end{bmatrix} &\rightarrow& \left[ \left. \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \qquad \\ &\rightarrow& \left[ \left. \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 2 & 2 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] \qquad \\ &\rightarrow& \left[ \left. \begin{matrix} -1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & -5 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 1 \\ \end{matrix} \right] \end{align}$

이 된다. 이것은 가우스 소거법에 의한 방법이다. 가우스-요르단 연산 절차에 따라 다음과 같이 변형한다. 주대각선의 원소가 모두 1이 되는 대각행렬로 변형한다.

$\begin{align} && \left[ \left. \begin{matrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 3.5 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 1.5 & 0.5 & 0 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right] \qquad\qquad \\ && \quad \rightarrow \left[ \left. \begin{matrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} 0.6 & 0.4 & -0.4 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right] \\ && \quad \rightarrow \left[ \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \right| \ \ \begin{matrix} -0.7 & 0.2 & 0.3 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right] \quad \end{align}$

$A^{-1}=\left[ \begin{matrix} -0.7 & 0.2 & 0.3 \\ -1.3 & -0.2 & 0.7 \\ 0.8 & 0.2 & -0.2 \\ \end{matrix} \right]$

이 소거법의 이름은 카를 프리드리히 가우스와 빌헬름 요르단에서 따온 것이다.