홀로노미
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미분기하학에서, 매끄러운 다양체 상에 주어진 코쥘 접속 또는 에레스만 접속의 홀로노미(holonomy)는 곡률의 존재로부터 나타나는 기하학적 결과로, 닫힌 곡선을 따라 평행 운송을 했을 때 기하학적 정보가 변형되는 정도를 측정한 것이다. 평탄한 접속의 홀로노미는 모노드로미의 일종이며, 본질적으로 대역적인(global) 개념이다. 굽은 접속의 경우 홀로노미는 자명치 않은 국소적 측면과 대역적 측면을 함께 가진다.
정의
[편집]다음이 주어졌다고 하자.
- 매끄러운 다양체
- 매끄러운 벡터 다발
- 속의 코쥘 접속
- 점
그렇다면, 를 통과하는 조각마다 매끄러운 폐곡선 에 대하여, 코쥘 접속은 평행 운송 사상
을 정의한다. 이 사상은 가역 선형 변환이므로, 일반 선형군 의 원소이다. 점 에서의 (대역) 홀로노미(영어: global holonomy) 는 다음과 같은 부분군이다.
(폐곡선들을 이으면 이며, 폐곡선의 방향을 뒤집으면 이 되므로, 이는 부분군을 이룬다.)
여기서 대신 상수 함수와 호모토픽한 조각마다 매끄러운 고리의 집합 를 쓰면 국소 홀로노미(영어: local holonomy)
를 얻는다. 정의에 따라, 국소 홀로노미는 따라서 대역 홀로노미의 부분군이다.
엠브로즈-싱어 정리
[편집]엠브로즈-싱어 정리는 워렌 엠브로즈(Warren Ambrose)와 이사도어 싱어(Isadore M. Singer)의 정리로, 주다발안에서 접속의 홀로노미와 접속의 곡률 형식에 대한 정리다. 예를 들어 아핀 접속에서 곡률은 미소평행사변형을 따라서 생긴다.
일반적으로, 리 군 구조 G를 갖춘 P위의 주다발P → M 안에서 접속의 홀로노미를 보자. 를 G의 리 대수라고 하자. 이 접속의 곡률 형식은 P위의 -값 2-형식 Ω이다. 그러면 엠브로즈-싱어 정리는 다음과 같다:[1]
- 의 리 대수는 형식 의 리 대수 의 모든 원소들로 생성된다. 여기서 q는 p와 수평곡선으로 연결될 수 있는 모든 점들이고(q ~ p), X 와 Y는 q에서 수평 접벡터들이다.
리만 다양체의 홀로노미
[편집]리만 다양체는 그 접다발과 레비치비타 접속을 지니므로, 이에 대한 홀로노미를 정의할 수 있다. 다른 수식어 없이 "리만 다양체의 홀로노미"라 하면 이를 지칭한다. 차원 리만 다양체의 홀로노미는 의 닫힌 리 부분군이다 (Borel & Lichnerowitz). 가향(可向) 리만 다양체의 홀로노미는 의 부분군이다. 대체로 더 대칭적이고 규칙적일 수록 홀로노미가 작아진다.
가약 홀로노미와 드 람 분해
[편집]베르제 분류
[편집]"일반적인" 리만 다양체의 홀로노미는 프랑스의 마르셀 베르제(프랑스어: Marcel Berger)가 1955년에 분류하였고, 다음과 같다.[2][3] 여기서 "일반적"이란 것은 단일 연결이고, 국소적으로 곱공간(product space)이 아니고, 국소적으로 대칭 공간이 아닌 다양체다.
홀로노미 | 차원 | 종류 |
---|---|---|
SO(n) | n | 가향 다양체 |
U(n) | 2n | 켈러 다양체 |
SU(n) | 2n | 칼라비-야우 다양체 |
Sp(n)·Sp(1) | 4n | 사원수-켈러 다양체 |
Sp(n) | 4n | 초켈러 다양체 |
G2 | 7 | (이름 없음) |
Spin(7) | 8 | (이름 없음) |
Sp(n) ⊂ SU(2n) ⊂ U(2n) ⊂ SO(4n)이므로, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이고, 모든 칼라비-야우 다양체는 켈러 다양체이고, 모든 켈러 다양체는 가향다양체다.
준 리만 다양체의 경우도 비슷하게 분류할 수 있다.
홀로노미 | 차원 |
---|---|
SO(p,q) | (p,q) |
SO(n,ℂ) | (n, n) |
U(p,q) | (2p, 2q) |
SU(p,q) | (2p, 2q) |
Sp(p,q)·Sp(1) | (4p, 4q) |
Sp(p,q) | (4p, 4q) |
분할 G₂ | (4,3) |
G₂(ℂ) | (7,7) |
Spin(4,3) | (4,4) |
Spin(7,ℂ) | (7,7) |
(국소) 대칭 공간은 정의상 국소적으로 G/H의 꼴로 나타낼 수 있다. 여기서 G는 리 군, H는 특정한 성질을 지닌 부분군이다. 이 때, 국소적 홀로노미는 H이다.
홀로노미와 스피너
[편집]스핀 구조를 지닌 리만 다양체는 스피너 다발과 그 안에 스핀 접속 ω를 지니므로, 스피너에 대하여 홀로노미 Hol(ω)를 정의할 수 있다. 스피너 홀로노미와 스피너는 다음과 같은 관계를 지닌다. 2n차원 스핀 다양체를 생각하자.
- Hol(ω) ⊂ U(n)의 필요 충분 조건은 평행 (공변상수) 사영 순수 스피너 장 (parallel/covariantly constant projective pure spinor field)이 존재하는 것이다.
- Hol(ω) ⊂ SU(n)의 필요 충분 조건은 평행 순수 스피너 장이 존재하는 것이다. (6차원 이하의 공간에서는 모든 스피너 장은 순수 스피너 장이다.)
- 7차원에서, Hol(ω) ⊂ G₂의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
- 8차원에서, Hol(ω) ⊂ Spin(7)의 필요 충분 조건은 (자명하지 않은) 평행 스피너 장이 존재하는 것이다.
끈 이론에 응용
[편집]이 사실은 끈 이론에서 용이하게 쓰인다. 초끈 이론에서는 10차원의 시공을 4차원으로 축소화하면서 하나의 초대칭을 남기려 한다. 이에 따라 6차원의 내부 공간에 평행 스피너 장이 존재하여야 하므로, 6차원 내부 공간은 SU(3)의 부분군인 홀로노미를 가지게 돼 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 마찬가지로 11차원에 존재하는 M이론을 축소화하려면 7차원의 내부공간의 홀로노미가 G₂의 부분군이어야 하고, 마찬가지로 12차원의 F-이론은 Spin(7) 다양체에 축소화할 수 있다.
각주
[편집]- ↑ Sternberg 1964, Theorem VII.1.2
- ↑ Berger, M. (1955). “Sur les groupes d’holonomie homogène des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes”. 《Bull. Soc. Math. France》 83: 225–238. Zbl 0068.36002.
- ↑ Joyce, Dominic. “Lectures on Calabi-Yau and special Lagrangian geometry”. arXiv:math/0108088.
- 김홍종 (2000). “리만 다양체의 홀로노미군”. 《Communications of the Korean Mathematical Society》 15 (4): 555–585.[깨진 링크(과거 내용 찾기)]
- Beauville, Arnaud (1999). “Riemannian holonomy and algebraic geometry”. arXiv:math/9902110.
- Gubser, Steven S. (2004년 3월). 〈Special holonomy in string theory and M-theory〉. 《Strings, Branes And Extra Dimensions: TASI 2001》. River Edge, New Jersey: World Scientific. 197–234쪽. arXiv:hep-th/0201114. doi:10.1142/9789812702821_0003. ISBN 978-981-238-788-2.
- Bryant, Robert J. (1988년 3월). 〈A survey of Riemannian metrics with special holonomy groups]〉 (PDF). 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986》. American Mathematical Society. ISBN 978-0821801109. 2017년 8월 9일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 2월 21일에 확인함.
- Galaev, Anton; Thomas Leistner. “Recent developments in pseudo-Riemannian holonomy theory” (PDF).
- Salamon, Simon M. (1989). 《Riemannian geometry and holonomy groups》 (PDF). Pitman Research Notes in Mathematics 201. Harlow: Longman Scientific & Technical. ISBN 0-582-01767-X. MR 1004008. Zbl 0685.53001. 2013년 11월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 3월 9일에 확인함.