순수 스피너

수학과 이론물리학에서 순수 스피너(純粹spinor, 영어: pure spinor)는 가장 많은 수의 디랙 행렬들에 의하여 상쇄되는 바일 스피너이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 짝수 차원 복소수 벡터 공간 $V=\mathbb {C} ^{2n}$
• 이차 형식 $Q\colon V\to \mathbb {C}$. 그렇다면, 복소수 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q)$를 정의할 수 있다.
• 클리퍼드 대수 $\operatorname {Cliff} (V,Q)$의 왼쪽 가군 $M$.

그렇다면, 임의의 원소 $\psi \in M$에 대하여,

$\{v\in V\colon v\psi =0\}\subseteq V$

를 생각할 수 있다. 이는 $V$의 부분 벡터 공간이다.

이제, $M$이 $2n$차원 시공간의 (왼손 또는 오른손) 바일 스피너들의 공간이라고 하자. 그렇다면,

$\dim _{\mathbb {C} }\{v\in V\colon v\psi \}\in \{0,1,\dotsc ,n\}$

이다. 만약

$\dim _{\mathbb {C} }\{v\in V\colon v\psi =0\}=n$

이라면, $\psi$를 순수 스피너라고 한다.

성질

$V$의 $n$차원 부분 복소수 벡터 공간이 주어졌을 때, 그 작용이 0인, 순수 스피너의 복소수 1차원 공간(즉, 사영 순수 스피너)이 유일하게 존재하며, 이는 사영 순수 스피너와 $V$의 $n$차원 부분 공간의 그라스만 다양체

${\frac {\operatorname {SO} (2n;\mathbb {R} )}{\operatorname {U} (n)}}$

사이의 동형을 정의한다. 즉, 사영 순수 스피너의 모듈러스 공간은 위와 같은 동차 공간이며, 순수 스피너의 복소수 벡터 공간은

${\frac {1}{2}}\dim _{\mathbb {R} }\left({\frac {\operatorname {SO} (2n;\mathbb {R} )}{\operatorname {U} (n)}}\right)+1={\frac {n(n-1)}{2}}+1$

이다.

예

낮은 차원에서 순수 스피너들은 다음과 같다.

• 만약 $2n\leq 6$이라면, 모든 바일 스피너가 순수 스피너이다.
• 8차원에서, 바일 스피너는 $2^{4}=8$개의 복소수 성분을 가지며, 순수 스피너들은 그 속에서 7차원 부분 공간을 이룬다.
• 10차원에서, 바일 스피너는 $2^{5}=16$개의 복소수 성분을 가지며, 순수 스피너들은 그 속에서 11차원 부분 공간을 이룬다.

참고 문헌

• Charleton, Philip (1997년 12월). “The geometry of pure spinors, with applications” (PDF) (영어). 박사 학위 논문. University of Newcastle Department of Mathematics. 

외부 링크

• “Pure spinor”. 《nLab》 (영어).