주다발

위상수학에서 주다발(主-, 영어: principal bundle)은 올이 위상군인 올다발이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 $X$이고 올이 위상군 $G$인 주다발은 국소적으로 $X\times G$와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 위상군 $G$

그렇다면, 올이 $G$이고 밑이 $X$인 주다발은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 올이 $G$인 올다발 $\pi \colon P\twoheadrightarrow X$
• 연속 오른쪽 작용 $P\times G\to P$

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

• 모든 $g\in G$, $p\in P$에 대하여, $\pi (p\cdot g)=\pi (p)$. 즉, 각 $x\in X$에 대하여, $G$는 올 $P_{x}$ 위에 작용한다.
• 임의의 $p,p'\in G$에 대하여, 만약 $\pi (p)=\pi (p')$이라면, $p\cdot g=p'$인 $g\in G$가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 $x\in X$에 대하여, 오른쪽 작용 $P_{x}\times G\to P_{x}$는 정추이적 작용이다. 여기서 $P_{x}=\pi ^{-1}(\{x\})$는 $x$ 위의 $P$의 올이다.

두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

${\begin{matrix}\!\!P\times G\!\!&{\overset {\cdot }{\to }}&P\\{\scriptstyle \!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {proj} _{1}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\operatorname {proj} _{1}}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle \color {White}\pi }\downarrow \scriptstyle \pi \!\!\!\!\\P&{\underset {\pi }{\to }}&X\end{matrix}}$

두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.

${\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!P\times G\!\!\!\!\!\!\!\!\\&{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\operatorname {proj} _{1}}}\!\!\!\!\swarrow \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color {White}^{\operatorname {proj} _{1}}\!\!\!\!\!\!}&{\scriptstyle \!\!\!\!\color {White}\exists !}\uparrow \scriptstyle \exists !\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color {White}^{\cdot }}\searrow ^{\cdot }\!\!\!\!\\P&{\xleftarrow {p}}&\bullet &{\xrightarrow {p'}}&P\\&{_{\pi }}\searrow {\color {White}_{\pi }}&&{\color {White}_{\pi }}\swarrow {_{\pi }}\\&&X\end{matrix}}$

만약

• $G$가 리 군이며,
• $P$와 $X$가 매끄러운 다양체이며,
• $\pi \colon P\to X$가 매끄러운 함수이며,
• $G$의 작용 $P\times G\to P$ 역시 매끄러운 함수라면

$(X,G,P,\pi )$를 매끄러운 주다발(-主-, 영어: smooth principal bundle)이라고 한다.

주다발 사상

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 위상 공간 $X$, $Y$
• 위상군 $G$와 $H$
• $G$-주다발 $\pi _{P}\colon P\twoheadrightarrow X$, $\pi _{Q}\colon Q\twoheadrightarrow Y$

이 두 주다발 사이의 주다발 사상(영어: principal bundle morphism) $(f,\phi )$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^:§1

• 연속 함수 $f\colon X\to Y$
• 연속 함수 $\Phi \colon P\to Q$
• 연속 군 준동형 $\phi \colon G\to H$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\Phi (p\cdot g)=\Phi (p)\cdot \phi (g)\qquad \forall (p,g)\in P\times G$

$f\circ \pi _{P}=\pi _{Q}\circ \Phi$

즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.

${\begin{matrix}P\times G&{\xrightarrow {(\Phi ,\phi )}}&Q\times H\\{\scriptstyle \cdot }\downarrow {\scriptstyle \color {White}\cdot }&&{\scriptstyle \color {White}\cdot }\downarrow \scriptstyle \cdot \\P&{\xrightarrow {\Phi }}&Q\\{\scriptstyle \pi _{P}}\downarrow {\scriptstyle \color {White}{\pi _{P}}}&&{\scriptstyle \color {White}{\pi _{Q}}}\downarrow {\scriptstyle \pi _{Q}}\\X&{\xrightarrow[{f}]{}}&Y\end{matrix}}$

주다발 사상 $(f,\Phi ,\phi )$에서, 만약 $X=Y$이며, $f=\operatorname {id} _{X}$가 항등 함수이며, $\phi$가 단사 함수라면 (즉, 부분군의 포함 사상이라면) $(\Phi ,\phi )$를 구조군 축소(構造群縮小, 영어: reduction of structure group)라고 한다.

주연장

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $n$차원 매끄러운 다양체 $M$
• 리 군 $G$
• $X$ 위의 매끄러운 $G$-주다발 $\pi \colon P\twoheadrightarrow X$
• 자연수 (음이 아닌 정수) $0\leq q\leq p$

그렇다면, 다음과 같은, $M$ 위의 올다발을 정의할 수 있다.

$\mathrm {W} ^{p,q}P=\mathrm {F} ^{p}M\times _{M}\mathrm {J} ^{q}P$

여기서

• $\mathrm {F} ^{p}M$은 $M$ 위의 $p$차 틀다발이다. 이는 $M$ 위의 주다발이며, 그 올군은 $p$차 $n$차원 제트 군 $\operatorname {Jet} (p,n)$이다.
• $\mathrm {J} ^{q}P$는 $P$ 위의 $q$차 제트 다발이다. 이는 $P$ 위의 벡터 다발이다.
• $\times _{M}$은 $M$ 위의 두 올다발의 곱이다.

즉, 국소적으로 $\mathrm {W} ^{p,q}P$의 점은 다음과 같은 꼴이다.

$(\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{x}^{h}g)$

여기서

• $f\colon U\to V$은 단사 매끄러운 함수이며, $0\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$은 열린집합이며, $x\in V\subseteq M$ 역시 열린집합이다.
• $\mathrm {j} _{0}^{p}f$는 $f$의, $0\in U$에서의 $p$차 제트이다.
• $s\colon V\to P$는 $P\upharpoonright V$의 단면이다.

이는 $P$ 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은

$\operatorname {Jet} (n,p)\rtimes \mathrm {T} ^{q}G$

이다. 여기서

$\mathrm {T} ^{q}G=\{\mathrm {j} _{0}^{q}g\colon g\colon \mathbb {R} ^{n}\to G\}$

이며, 그 군 연산은 다음과 같다.

$(\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{0}^{q}g)(\mathrm {j} _{0}^{p}f',\mathrm {j} _{0}^{q}g')=\left(\mathrm {j} _{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} _{0}^{q}\left(\left(\mathrm {g} \circ f'\right)g'\right)\right)$

이 군은 $\mathrm {W} ^{p,q}P$ 위에 다음과 같이 오른쪽에서 작용한다.

$(\mathrm {j} _{0}^{p}f,\mathrm {j} _{x}^{q}s)(\mathrm {j} _{0}^{p}f',\mathrm {j} _{x}^{q}g)=\left(\mathrm {j} _{0}^{p}(f\circ f'),\mathrm {j} _{0}^{q}\left(\sigma \cdot (g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)$

이를 $P$의 $(p,q)$차 주연장(主延長, 영어: principal prolongation)이라고 한다.^{:150–151, §15.3:Definition 3.4}

성질

대역적 자명화의 존재

위상 공간 $X$ 위의 주다발 $P$에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 $P\cong X\times G$)가 존재할 필요 충분 조건은 대역적 단면 $s\in \Gamma (P)$가 존재하는 것이다. (이는 $s\colon x\mapsto (x,1_{G})$로 여길 수 있다.)

분류

 이 부분의 본문은 분류 공간입니다.

위상군 $G$에 대하여, 분류 공간 $\mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G$을 구성할 수 있다. 그렇다면, ($X$에 대한 적절한 조건 아래) $X$ 위의 $G$-주다발들의 동형류들은 연속 함수 $X\to \mathrm {B} G$들의 호모토피류들과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 연속 함수 $f\colon X\to \mathrm {B} G$에 대응하는 $G$주다발은 $f^{*}\mathrm {E} G$이다.

예

자명 주다발

임의의 위상 공간 $X$와 위상군 $G$에 대하여, $X\times G$는 군 작용

$(x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)$

과 사영 사상

$(x,h)\mapsto x$

을 주면 주다발을 이룬다. 이를 자명 주다발(自明主-, 영어: trivial principal bundle)이라고 한다.

틀다발

 이 부분의 본문은 틀다발입니다.

위상 공간 $X$ 위의 $k$차원 벡터 다발 $E$가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 $\operatorname {GL} (k;\mathbb {R} )$-주다발을 정의할 수 있으며, 이를 틀다발이라고 한다.

응용

주다발의 개념은 위상수학 및 미분기하학에서 쓰이고, 물리학에서도 일반 상대성 이론 및 게이지 이론을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, 필바인의 국소적 로런츠 대칭은 올이 SO(1,3)인 주다발로 나타내어진다.

참고 문헌

• Kobayaschi, Shoshichi (1957). “Theory of connections”. 《Annali di Matematica Pura ed Applicata》 (영어) 43 (1): 119–194. doi:10.1007/BF02411907. ISSN 0373-3114. Zbl 0124.37604. 
• Collinucci, Andres; Alexander Wijns. “Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories” (영어). arXiv:hep-th/0611201. Bibcode:2006hep.th...11201C. 

외부 링크

• “Principal fibre bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Principal bundle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Principal bundle”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 게이지 이론
• 벡터 다발
• 연관 다발