이산 공간

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일반위상수학에서, 이산 공간(離散空間, 영어: discrete space)은 모든 부분집합이 열린집합위상 공간이다. 대략, 고립돼 있는 점들로 이루어진 공간으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

이산 공간의 개념은 순수하게 일반위상수학적으로 정의할 수 있으며, 대신 범주론적으로, 또는 기하학적으로 정의할 수도 있다.

위상수학적 정의[편집]

위상 공간 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 이산 공간이라고 한다.

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 … 닫힌집합이어야 한다 열린집합이어야 한다 닫힌집합일 수 없다 열린집합일 수 없다
위상 공간의 종류 T1 공간 이산 공간 (특별한 이름이 없음) 자기 조밀 공간

범주론적 정의[편집]

범주론적으로, 이산 공간은 위상 공간의 구체적 범주에서의 자유 대상이다. 즉, 망각 함자 왼쪽 수반 함자

를 가지며, 이 함자를 이산 함자라고 한다. 집합 에 대한 위의 이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 오른쪽 수반 함자비이산 공간 함자이다.)

기하학적 정의[편집]

집합 위에는 다음과 같은 표준적 거리 함수를 줄 수 있다.

이 거리 함수를 이산 거리 함수(離散距離函數, 영어: discrete metric)라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 거리 공간이산 거리 공간(離散距離空間, 영어: discrete metric space)이라고 한다. 이산 거리에 대한 거리 위상은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 거리화 가능 공간임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 또한 초거리 공간을 이룬다.

성질[편집]

이산 공간에서는 모든 부분 집합이 열린닫힌집합이다.

모든 이산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

이산 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이산 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

두 이산 공간 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 는 서로 위상 동형이다.
  • 사이에 전단사 함수가 존재한다.

[편집]

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

거리 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이산 공간이다.
  • 임의의 에 대하여, 이다.

임의의 양의 정수 에 대하여, 몫환 스펙트럼 은 이산 공간이다. (의 점의 수는 소인수의 수와 같다.)

바깥 고리[편집]