이산 공간

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일반위상수학에서, 이산 공간(離散空間, 영어: discrete space)은 모든 부분집합이 열린 집합위상 공간이다. 대략, 고립돼 있는 점들로 이루어진 공간으로 생각할 수 있다.

정의[편집]

위상 공간 X에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 이산 공간이라고 한다.

범주론적으로, 이산 공간은 위상 공간의 구체적 범주에서의 자유 대상이다. 즉, 망각 함자 F\colon \operatorname{Top}\to\operatorname{Set}왼쪽 수반 함자

D\colon\operatorname{Set}\to\operatorname{Top}
D\dashv F

를 가지며, 이 함자를 이산 함자라고 한다. 집합 SD에 대한 I(S)S 위의 이산 공간이다. (반대로, 망각 함자의 오른쪽 수반 함자비이산 공간 함자이다.)

이산 거리[편집]

집합 X 위에는 또한 다음과 같은 표준적 거리 함수를 줄 수 있다.

d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}

이 거리 함수를 이산 거리 함수(영어: discrete metric)라 하고, 이산 거리 함수를 부여한 거리 공간이산 거리 공간(영어: discrete metric space)이라고 한다. 이산 거리에 대한 거리 위상은 이산 위상과 같으며, 따라서 이산 공간이 거리화 가능 공간임을 알 수 있다. 이산 거리 공간은 또한 초거리 공간을 이룬다.

성질[편집]

이산 공간에서는 모든 부분 집합이 열리고 닫힌 집합이다.

모든 이산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

이산 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

이산 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

두 이산 공간 X, Y에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

[편집]

유한 개의 점을 갖는 위상 공간 X에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

거리 공간 (X,d)에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 이산 공간이다.
  • 임의의 x\in X에 대하여, \textstyle\inf_{y\in X\setminus\{x\}}d(x,y)>0이다.

임의의 양의 정수 n에 대하여, 몫환 \mathbb Z/(n)스펙트럼 \operatorname{Spec}(\mathbb Z/(n))은 이산 공간이다. (\operatorname{Spec}(\mathbb Z/(n))의 점의 수는 n소인수의 수와 같다.)

바깥 고리[편집]