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해석학 및 위상수학 에서 극한 (極限, 영어 : limit ) 또는 극한값 (極限-)은 수열 이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는
lim
{\displaystyle \lim }
수렴 (收斂, 영어 : convergence )은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산 (發散, 영어 : divergence )은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한 은 그물 의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한 은 필터 의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
부분 집합 들의 필터 기저
B
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
x
{\displaystyle x}
(영어 : the filter base
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
x
{\displaystyle x}
)고 하며,
x
{\displaystyle x}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
극한 이라고 한다. 이를
B
→
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}
N
x
⊂
↑
B
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}
근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
B
⊂
U
{\displaystyle B\subset U}
B
∈
B
{\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}
N
x
{\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}
x
{\displaystyle x}
근방 필터 이며,
↑
B
{\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
상폐포 다.)다음 두 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면
x
{\displaystyle x}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
집적점 (集積點, 영어 : cluster point )이라고 한다.
x
∈
⋂
B
∈
B
cl
B
{\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B}
cl
B
{\displaystyle \operatorname {cl} B}
B
{\displaystyle B}
폐포 다.)
B
′
→
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}'\to x}
↑
B
⊂
↑
B
′
{\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'}
필터 기저
B
′
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)}
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
필터 기저
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
그물
{
(
b
,
B
)
:
b
∈
B
∈
B
}
→
X
{\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X}
(
b
,
B
)
↦
b
{\displaystyle (b,B)\mapsto b}
의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서 는 다음과 같다.
(
b
,
B
)
≲
(
b
′
,
B
′
)
⟺
B
⊃
B
′
{\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
그물
(
x
i
)
i
∈
(
I
,
≲
I
)
⊂
X
{\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
만약 다음 조건이 성립한다면, 그물
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
{\displaystyle x}
(영어 : the net
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
x
{\displaystyle x}
)고 하며,
x
{\displaystyle x}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
극한 이라고 한다. 이를
x
i
→
x
{\displaystyle x_{i}\to x}
임의의 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
∀
i
≳
I
i
0
:
x
i
∈
U
{\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U}
i
0
∈
I
{\displaystyle i_{0}\in I}
특히, 실수열
(
x
n
)
n
∈
N
⊂
R
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} }
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
∀
n
≥
n
0
:
|
x
n
−
x
|
<
ϵ
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}\colon |x_{n}-x|<\epsilon }
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
다음 세 조건이 서로 동치 이며, 이 조건이 성립한다면
x
{\displaystyle x}
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
집적점 이라고 한다.
임의의 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
{
i
∈
I
:
x
i
∈
U
}
{\displaystyle \{i\in I\colon x_{i}\in U\}}
공종 집합 이다.
x
i
(
j
)
→
x
{\displaystyle x_{i(j)}\to x}
상향 원순서 집합
(
J
,
≲
J
)
{\displaystyle (J,\lesssim _{J})}
단조 공종 함수
i
:
J
→
I
{\displaystyle i\colon J\to I}
x
i
(
j
)
→
x
{\displaystyle x_{i(j)}\to x}
∀
i
0
∈
I
∃
j
0
∈
J
∀
j
∈
j
0
:
i
(
j
)
≳
i
0
{\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}}
상향 원순서 집합
(
J
,
≲
J
)
{\displaystyle (J,\lesssim _{J})}
함수
i
:
J
→
I
{\displaystyle i\colon J\to I}
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
그물
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
필터 기저
{
{
x
i
:
i
≳
i
0
}
:
i
0
∈
I
}
{\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}
의 극한·집적점과 일치한다.
그물의 극한은 함수의 극한 의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물
(
x
i
)
i
∈
(
I
,
≲
I
)
{\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}}
I
→
X
{\displaystyle I\to X}
I
{\displaystyle I}
I
∪
{
∞
}
{\displaystyle I\cup \{\infty \}}
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
고립점 이며,
∞
{\displaystyle \infty }
열린 근방 은 (
∞
{\displaystyle \infty }
{
i
∈
I
:
i
≳
I
i
0
}
{\displaystyle \{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}}
D
∞
=
↑
{
{
i
∈
I
:
i
≳
I
i
0
}
:
i
0
∈
I
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\infty }=\mathop {\uparrow } \{\{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}
이며, 그 그물에 대한 상
{
{
x
i
:
i
∈
D
}
:
D
∈
D
∞
}
{\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\in D\}\colon D\in {\mathcal {D}}_{\infty }\}}
은 그물로 유도되는 필터 기저 와 같은 필터 를 생성한다. 따라서,
(
x
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}
∞
{\displaystyle \infty }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
전순서 에 의하여, 점렬 은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한 ·집적점 은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬 의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
함수
f
:
X
∖
{
x
0
}
→
Y
{\displaystyle f\colon X\setminus \{x_{0}\}\to Y}
y
0
∈
Y
{\displaystyle y_{0}\in Y}
그렇다면,
x
0
{\displaystyle x_{0}}
빠진 근방 들의 집합족
D
x
0
=
{
U
∖
{
x
0
}
:
U
∈
N
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}
은
X
∖
{
x
0
}
{\displaystyle X\setminus \{x_{0}\}}
부분 집합 들의 필터 를 이루며, 따라서 그 상
f
(
D
x
0
)
{\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}
Y
{\displaystyle Y}
부분 집합 들의 필터 기저 를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
(영어 : the map
f
{\displaystyle f}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
)고 하며,
y
0
{\displaystyle y_{0}}
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
극한 이라고 한다. 이는
f
(
x
)
→
y
0
(
x
→
x
0
)
{\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})}
라고 쓴다.
f
(
D
x
0
)
{\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
근방
V
∋
y
0
{\displaystyle V\ni y_{0}}
f
(
U
∖
{
x
0
}
)
⊂
V
{\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V}
근방
U
∋
x
0
{\displaystyle U\ni x_{0}}
특히, 실함수
f
:
R
∖
{
x
0
}
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }
임의의 양의 실수
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
f
(
(
x
0
−
δ
,
x
0
)
∪
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
)
⊂
(
y
0
−
ϵ
,
y
0
+
ϵ
)
{\displaystyle f((x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta ))\subset (y_{0}-\epsilon ,y_{0}+\epsilon )}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
X
=
R
{\displaystyle X=\mathbb {R} }
실수선 일 때,
D
x
0
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}}
D
x
0
−
=
{
U
∩
(
−
∞
,
x
0
)
:
U
∈
N
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}
D
x
0
+
=
{
U
∩
(
x
0
,
∞
)
:
U
∈
N
x
0
}
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}
을 사용하면
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
좌극한 (左極限, 영어 : left limit )·우극한 (右極限, 영어 : right limit )의 개념을 얻는다.
필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합 들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간 의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간 의 모든 부분 집합 들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 다.
특히, 콤팩트 공간 의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간 의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간 이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.
위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치 다.
특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
lim
F
=
x
{\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=x}
lim
x
∈
I
x
i
=
x
{\displaystyle \lim _{x\in I}x_{i}=x}
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
y
0
{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}}
(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
집합
X
{\displaystyle X}
위상 공간 들의 족
(
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}
함수 족
(
f
i
:
X
→
Y
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}
X
{\displaystyle X}
부분 집합 들의 필터 기저
B
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 다.
X
{\displaystyle X}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
연속 함수 로 만드는 가장 엉성한 시작 위상 을 부여하였을 때,
B
→
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}
임의의
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
f
i
(
B
)
→
f
i
(
x
)
{\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})\to f_{i}(x)}
특수한 경우들은 다음과 같다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
부분 집합
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
Y
{\displaystyle Y}
부분 집합 들의 필터 기저
B
⊂
P
(
Y
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(Y)}
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 다.
B
→
y
{\displaystyle {\mathcal {B}}\to y}
X
{\displaystyle X}
B
→
y
{\displaystyle {\mathcal {B}}\to y}
즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간 들의 집합
(
X
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}
X
=
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \textstyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}
곱공간 ,
π
i
:
X
→
X
i
{\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}
X
{\displaystyle X}
부분 집합 들의 필터 기저
B
⊂
P
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 다.
B
→
x
{\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}
임의의
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
π
i
(
B
)
→
x
i
{\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {B}})\to x_{i}}
즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
정칙 하우스도르프 공간
Y
{\displaystyle Y}
함수
f
:
X
1
×
X
2
→
Y
{\displaystyle f\colon X_{1}\times X_{2}\to Y}
a
i
∈
X
i
{\displaystyle a_{i}\in X_{i}}
i
=
1
,
2
{\displaystyle i=1,2}
이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.
극한
lim
(
x
1
,
x
2
)
→
(
a
1
,
a
2
)
f
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})}
임의의
x
1
∈
X
1
{\displaystyle x_{1}\in X_{1}}
lim
x
2
→
a
2
f
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}
그렇다면, 이중 극한
lim
x
1
→
a
1
lim
x
2
→
a
2
f
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}
이 존재하며,
lim
x
1
→
a
1
lim
x
2
→
a
2
f
(
x
1
,
x
2
)
=
lim
(
x
1
,
x
2
)
→
(
a
1
,
a
2
)
f
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})}
이다.
b
=
lim
(
x
1
,
x
2
)
→
(
a
1
,
a
2
)
f
(
x
1
,
x
2
)
∈
Y
{\displaystyle b=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})\in Y}
∀
x
1
∈
X
:
g
(
x
1
)
=
lim
x
2
→
a
2
f
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle \forall x_{1}\in X\colon g(x_{1})=\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}
이라고 하자. 임의의 근방
V
∋
b
{\displaystyle V\ni b}
U
1
∋
a
1
{\displaystyle U_{1}\ni a_{1}}
U
2
∋
a
2
{\displaystyle U_{2}\ni a_{2}}
∀
x
1
∈
U
1
∀
x
2
∈
U
2
:
f
(
x
1
,
x
2
)
∈
V
{\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\forall x_{2}\in U_{2}\colon f(x_{1},x_{2})\in V}
가 성립한다. 여기에
x
2
→
a
2
{\displaystyle x_{2}\to a_{2}}
∀
x
1
∈
U
1
:
g
(
x
1
)
∈
cl
V
{\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\colon g(x_{1})\in \operatorname {cl} V}
를 얻는다. 정칙성에 따라,
b
{\displaystyle b}
닫힌 근방 들은 국소 기저 를 이룬다. 따라서,
lim
x
1
→
a
1
g
(
x
1
)
=
b
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}g(x_{1})=b}
이다.
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