리 대수

리 대수(Lie代數, 영어: Lie algebra)는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수적 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 야코비 항등식을 만족하는 겹선형 반대칭 이항연산을 지닌 벡터공간이다. 통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 ${\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}$ 등으로 나타낸다.

정의

체 $\mathbb {F}$ 위에 정의된 리 대수 $({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])$ 는 벡터공간 ${\mathfrak {g}}$ 과 다음을 만족하는 이항연산 $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to v$ 로 이루어진다.

겹선형성(영어: bilinearity): 모든 $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$ 와 $a,b\in \mathbb {F}$ 에 대해 $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$ 이다.
교대성(alternating): 모든 $x\in {\mathfrak {g}}$ 에 대하여 $[x,x]=0$ 이다.
야코비 항등식: 모든 $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$ 에 대해 $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ 이다.

이 이항연산은 리 괄호(Lie bracket)로 불린다. 리 대수의 준동형사상은 리 괄호를 보존하는 선형변환이다.

만약 $\mathbb {F}$ 의 표수가 2가 아니라면, 교대성을 반대칭성, 즉 모든 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 에 대하여 $[x,y]+[y,x]=0$ 인 성질로 대체할 수 있다. (표수가 2인 체에서는 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)

부분 대수와 아이디얼

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 부분 리 대수(영어: Lie subalgebra) ${\mathfrak {h}}$ 는 리 괄호에 대하여 닫힌 선형부분공간이다. 즉, ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ 이며 $[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}$ 이다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 아이디얼(ideal) $I\subset {\mathfrak {g}}$ 는 $[{\mathfrak {g}},I]\subset I$ 를 만족하는 선형부분공간이다. 모든 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 상(商, quotient) 리 대수 ${\mathfrak {g}}/I$ 를 정의할 수 있다. 모든 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

리 군과의 관계

실수 및 복소수에서 정의한 리 대수는 실수 및 복소수 리 군의 국소적 구조를 나타낸다. 좀 더 엄밀히 말하면, 리 군의 범주에서 리 대수(와 그 준동형사상)의 범주로 가는 충실한 함자를 정의할 수 있다. 이는 다음과 같다. 리 군 $G$ 가 주어지면, $1\in G$ 주위의 접공간 $T_{1}G$ 를 생각하자. 이 공간은 좌불변벡터장(left-invariant vector field)^[1]의 공간과 $v\mapsto (X_{g}={\mathcal {L}}_{g^{*}}v)$ 와 같은 사상에 의하여 동형이다. 좌불변벡터장은 리 괄호에 대하여 닫혀 있으므로, 좌불변벡터장의 집합은 리 대수를 이룬다. 보통 어떤 "리 군의 리 대수"는 이를 의미한다.

이 함자는 충실하나, (객체에 대하여) 전사적이지 않고, 단사적이지도 않다. 단사성은 리 대수가 국소적인 정보만을 담기 때문이다. 예를 들어 SO(3)과 SU(2)는 국소적으로 같으므로 (SU(2)는 SO(3)의 두겹덮개다) 같은 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$ 를 지닌다.

통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 ${\mathfrak {so}}(5)$ 이다.

구조론과 분류

우선 다음 성질을 정의하자.

가환(可換, Abelian) 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 는 임의의 $x,y\in {\mathfrak {g}}$ 에 대하여 $[x,y]=0$ 인 대수다.
가해(可解, solvable) 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 는 다음을 만족한다. ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}$ 이고, ${\mathfrak {g}}_{k+1}=[{\mathfrak {g}}_{k},{\mathfrak {g}}_{k}]$ 로 정의하자. 그렇다면 ${\mathfrak {g}}_{k}=0$ 인 $k\in \mathbb {N}$ 이 존재한다.
단순(單純, simple) 리 대수는 자신이나 0이 아닌 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
반단순(半單純, semisimple) 리 대수는 0이 아닌 가환 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

다음을 보일 수 있다.

임의의 유한차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다 (아도 정리, Ado's theorem).
임의의 유한차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접곱으로 나타낼 수 있다 (E. E. Levi, 1905).
(실수 또는 복소) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 가환 리 대수의 합이다. (이를 간혹 콤팩트 리 대수라 부르기도 한다. 물론, 리 대수는 벡터공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.)
모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

실수와 복소 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. (아래를 참고하라.) 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

단순 리 대수의 분류

단순 리 대수는 유한 단순군과 마찬가지로 몇 개의 무한한 족(family)과 그 밖의 유한한 수의 예외적 리 대수로 분류한다. 그러나 유한단순군의 분류와는 달리 더 간단하며 고전적으로 증명할 수 있다.

모든 복소 단순 리 대수는 다음 가운데 하나와 동형이다.

${\mathfrak {a}}_{k}={\mathfrak {sl}}(k+1,\mathbb {C} )={\mathfrak {su}}(k+1)\otimes \mathbb {C}$ , $k=1,2,\dots$ (복소 무대각합(無對角合, traceless) 행렬 대수)
${\mathfrak {b}}_{k}={\mathfrak {so}}(2k+1,\mathbb {C} )$ , $k=2,3,\dots$ (홀수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
${\mathfrak {c}}_{k}={\mathfrak {sp}}(2k,\mathbb {C} )$ , $k=2,3,\dots$ (복소 해밀턴 행렬(Hamiltonian matrix) 대수)
${\mathfrak {d}}_{k}={\mathfrak {so}}(2k,\mathbb {C} )$ , $k=4,5,\dots$ (짝수 차원의 복소 반대칭 행렬 대수)
𝖊₆, 𝖊₇, 𝖊₈
𝖋₄
𝖌₂

이 가운데, 처음 네 가지를 고전적(영어: classical), 나머지를 예외적(영어: exceptional)이라고 부른다. 여기서 아래 첨자는 근의 수를 나타낸다.

모든 실수 단순 리 대수는 복소화(영어: complexification) ${\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C}$ 를 통하여 복소 단순 리 대수와 대응한다. 이는 전사함수지만, 단사함수는 아니나, 그 원상(preimage)는 유한하다. 즉 각 단순 복소 단순 리 대수에 대하여 유한개의 실수 단순 리 대수가 대응하고, 모두 알려져 있다.

역사

소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였다. 헤르만 바일이 이를 "리 대수"라고 이름붙였다.

주석

↑ 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여 ${\mathcal {L}}_{g^{*}}X_{h}=X_{gh}$ 를 만족하는 벡터장 $X$ . 여기서 $L_{g^{*}}$ 는 $L_{g}\colon h\to gh$ 를 미분한 것이다.

참고 문헌

Erdmann, Karin; Mark J. Wildon (2006). 《Introduction to Lie Algebras》. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi:10.1007/1-84628-490-2. ISBN 978-1-84628-040-5. ISSN 1615-2085.
Iachello, Francesco (2006). 《Lie Algebras and Applications》. Lecture Notes in Physics 708. Springer. doi:10.1007/3-540-36239-8. ISBN 978-3-540-36236-4. ISSN 0075-8450.
Hall, Brian C. (2003). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》. Graduate Texts in Mathematics 222. Springer. arXiv:math-ph/0005032. doi:10.1007/978-0-387-21554-9. ISBN 978-0-387-40122-5. ISSN 0072-5285.
Serre, Jean-Pierre (1992). 《Lie Algebras and Lie Groups: 1964 Lectures given at Harvard University》. Lecture Notes in Mathematics 1500 2판. Springer. doi:10.1007/978-3-540-70634-2. ISBN 978-3-540-55008-2. ISSN 0075-8434. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Steeb, Willi-Hans (2007년 7월). 《Continuous Symmetries, Lie Algebras, Differential Equations and Computer Algebra》 2판. World Scientific. ISBN 978-981-270-809-0. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Varadarajan, V.S. (1974). 《Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representations》. Graduate Texts in Mathematics 102. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1126-6. ISBN 978-0-387-90969-1. ISSN 0072-5285.

함께 보기

[1] 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여 ${\mathcal {L}}_{g^{*}}X_{h}=X_{gh}$ 를 만족하는 벡터장 $X$ . 여기서 $L_{g^{*}}$ 는 $L_{g}\colon h\to gh$ 를 미분한 것이다.

[1]