선형변환

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

선형변환(linear transformation), 선형 연산자(linear operator)는 벡터 합과 스칼라 곱 성질을 만족하는 벡터 공간 사이의 함수이다. 선형 변환에 속하는 함수는 선형성을 만족한다고 한다.

정의[편집]

K를 기반으로 한 벡터 공간 V, W에 대해, V에 속하는 임의의 두 벡터 x, y에 대해

f(x+y) = f(x) + f(y)

가 성립하고, 또한 K에 속하는 임의의 스칼라 a에 대해

f(ax) = af(x)

를 만족하는 함수 f : V \to W를 선형변환 또는 일차변환이라고 한다.

위의 정의를 이용하면 다음과 같은 표현을 사용할 수도 있다. 모든 선형변환은 벡터 x_1, \cdots , x_m와 스칼라 a_1, \cdots , a_m에 대해

f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)

의 공식을 만족한다.

예제[편집]

선형변환의 한 예로 n 차원 열벡터 \mathbf x, m차원 열벡터 \mathbf b, m \times n 행렬 A에 대해 A\mathbf{x=b}의 연산을 하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이때 행렬 A는 선형변환을 정의한다.

선형변환은 앞의 예와 같이 벡터와 행렬의 곱의 연산으로 표현하는 경우가 많다.

다음은 행렬로 표현한 여러가지 2차원 선형변환의 예이다.

  • 시계 방향으로 90도 회전:
    A=\begin{bmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}
  • 시계 방향(또는 반대방향)으로 \theta만큼 회전:
    A=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}
  • 시계 반대방향으로 90도 회전:
    A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}
  • x 축에 대해 대칭 이동:
    A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}
  • 모든 방향에 대해 k배 크기 확대(k는 실수):
    A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & k\end{bmatrix}
  • 찌그러트림 :
    A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & r\end{bmatrix}
  • y 축에 영사 :
    A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}