준동형사상

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추상대수학에서, 준동형사상(準同型寫像, homomorphism)은 대수적 구조들 사이의 구조를 보존하는 함수이다. 대수적 범주사상이 된다.

정의[편집]

같은 형태 F의 두 대수적 구조 (A,F_A), (B,F_B) 사이의 준동형사상은 모든 대수적 연산 f\in F를 보존하는 함수 \phi\colon A\to B이다. 즉, 모든 n항 연산 f\in Fa_1,a_2,\dots,a_n\in A에 대하여,

\phi(f_A(a_1,a_2,\dots,a_n))=f_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n))

이다.

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마그마와 군[편집]

마그마 (M,\cdot)는 하나의 이항연산을 갖는 대수적 구조이다. 마그마 준동형사상 \phi\colon M\to N은 모든 m,m'\in M에 대하여

\phi(m\cdot n)=\phi(m)\cdot\phi(n)

인 함수이다.

(G,\cdot,^{-1},1)은 이항연산 \cdot, 일항연산 ^{-1}, 영항연산 1을 갖는 대수적 구조이다. 군 준동형사상 \phi\colon G\to H는 모든 g,g'\in G에 대하여

  1. \phi(g\cdot g')=\phi(g)\cdot\phi(g')
  2. \phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}
  3. \phi(1)=1

인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

유사환과 환[편집]

유사환 (R,\cdot,+,-,0)은 이항연산 \cdot-, 일항연산 -, 영항연산 0을 갖는 대수적 구조이다. 유사환 준동형사상 \phi\colon R\to S는 모든 r,r'\in R에 대하여

  1. \phi(r\cdot r')=\phi(r)\cdot\phi(r')
  2. \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r')
  3. \phi(-r)=-\phi(r)
  4. \phi(-0)=-\phi(0)

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) (R,\cdot,+,-,1,0)은 이항연산 \cdot-, 일항연산 -, 영항연산 01을 갖는 대수적 구조이다. 환 준동형사상 \phi\colon R\to S는 모든 r,r'\in R에 대하여

  1. \phi(r\cdot r')=\phi(r)\cdot\phi(r')
  2. \phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r')
  3. \phi(-r)=-\phi(r)
  4. \phi(-0)=-\phi(0)
  5. \phi(1)=1

인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형사상은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, 환 준동형사상은 유사환 준동형사상보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, \mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z, n\mapsto(0,n)은 유사환 준동형사상이지만 환 준동형사상이 아니다.

는 (보편 대수학에서 다루는) 대수적 구조가 아니므로, 준동형사상의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형사상은 체의 확대이다.

벡터 공간[편집]

K에 대한 벡터공간 (V,+,-,s\cdot_{s\in K},0)은 이항연산 +, 일항연산 - 및 모든 s\in K에 대하여 s\cdot, 영항연산 0을 갖는 대수적 구조이다. 벡터공간의 준동형사상은 선형변환이라고 하며, 선형변환 \phi\colon V\to W는 모든 v,v'\in R에 대하여

  1. \phi(v+v')=\phi(v)+\phi(v')
  2. \phi(-v)=-\phi(v')
  3. 모든 s\in K에 대하여, \phi(-s\cdot r)=-s\cdot\phi(r)
  4. \phi(0)=\phi(0)

인 함수이다. 벡터공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 함의되므로, 이들을 생략할 수 있다.

격자[편집]

격자 (L,\vee,\wedge)는 이항연산 \vee\wedge를 갖는 대수적 구조이다. 격자의 준동형사상 \phi\colon L\to M은 모든 a,b\in L에 대하여

  1. \phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b)
  2. \phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b)

인 함수이다. 격자는 표준적인 부분순서집합 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형사상이 항상 단조함수임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유계 격자 (L,\vee,\wedge,\bot,\top)는 이항연산 \vee\wedge, 영항연산 \bot\top을 갖는 대수적 구조이다. 유계 격자의 준동형사상 \phi\colon L\to M은 모든 a,b\in L에 대하여

  1. \phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b)
  2. \phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b)
  3. \phi(\bot)=\bot
  4. \phi(\bot)=\top

인 함수이다. 이는 격자의 준동형사상보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형사상은 격자 준동형사상이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]