대수적 구조

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추상대수학에서, 대수적 구조(代數的構造, 영어: algebraic structure)는 연산들이 갖추어진 집합이다.[1] ··가군 등을 보편적으로 일컫는 용어다. 추상대수학은 다루는 대수적 구조에 따라서 구분되며, 일반적인 대수적 구조를 추상적으로 연구하는 분야를 보편 대수학이라고 한다.

정의[편집]

대수적 구조의 (영어: type, 영어: signature) (\tau,\operatorname{arity})집합 \tau공역이 음이 아닌 정수의 집합인 함수 \operatorname{arity}\colon\tau\to\mathbb N의 순서쌍이다. \operatorname{arity}(\alpha)=n인 원소 t\in\tau를 형 \taun항 연산이라고 한다.

\tau대수적 구조 (S,F)는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • S집합이다.
  • F\colon\tau\to\bigsqcup_{n\in\mathbb N}S^{S^{\times n}}는 중복집합 \tau의 각 원소 \alpha\in\tau를 함수 F_\alpha\colon S^{\times\operatorname{arity}(\alpha)}\to S에 대응시키는 함수이다. 여기서 S^{\times n}=\overbrace{S\times S\times\cdots\times S}^nSn곱집합이며, S^{\times0}은 하나의 원소를 갖는 임의의 집합이다.

대수적 구조는 이러한 연산들이 만족시켜야 하는 항등식에 대한 데이터를 담고 있지 않다. 이러한 데이터를 포함하는 대상을 대수적 구조 다양체라고 한다.

부분대수[편집]

\tau의 대수적 구조 (S,F)부분대수(영어: subalgebra) (T,G)는 다음과 같은 성질을 만족시키는 대수적 구조이다.

  • T\subset S이다.
  • T의 연산은 S의 연산과 일치한다. 즉, 모든 n항 연산 \alpha\in\tau\vec t\in T^n에 대하여, F_\alpha(\vec t)=G_\alpha(\vec t)이다.

대수적 구조 (S,F)의 부분대수들은 포함 관계에 따라 부분순서집합 \operatorname{Sub}(S)를 이룬다. 이 부분순서집합은 대수적 격자(영어: algebraic lattice)이며, 반대로 모든 대수적 격자는 대수적 구조의 부분대수격자로 나타낼 수 있다.[1]:33–34

몫 대수[편집]

\tau의 대수적 구조 (S,F) 위에 합동 관계 \sim가 주어졌다고 하자. 그렇다면, S\sim에 대한 몫 대수(영어: quotient algebra) (S/\sim,F/\sim)는 다음과 같은 대수적 구조이다.

  • S/\simS\sim에 대한 동치류들의 집합이다.
  • \alpha\in\tau\vec s\in S^{\times\operatorname{arity}(n)}에 대하여, 합동 관계는 연산과 호환되므로, (F/\sim)_\alpha([\vec t]_\sim)=[F_\alpha(\vec t)]_\sim로 정의할 수 있다. 여기서 [\cdots]\sim에 대한 동치류이다.

주어진 대수적 구조 S의 몫 대수들의 부분순서집합S 위의 합동 관계들의 부분순서집합 \operatorname{Cong}(S)와 동형이다. \operatorname{Cong}(S)대수적 격자를 이루며, 반대로 모든 대수적 격자는 어떤 대수적 구조의 합동 관계 격자와 동형이다.[1]:41–43

\operatorname{Cong}(S)가 2개 원소를 가진 격자인 경우, S단순 대수(영어: simple algebra)라고 한다. 합동 관계 \sim에 대하여 S/\sim이 단순 대수인 경우, \sim극대 합동 관계(영어: maximal congruence relation)라고 한다. 단순 대수는 단순군·단순환의 개념을, 극대 합동 관계는 극대 아이디얼의 개념을 일반화한 것이다.

[편집]

집합은 아무런 연산이 정의되어 있지 않는 대수적 구조이다.

모노이드 (M,\cdot,1)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

(G,\cdot,{}^{-1},1)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산 \cdot\colon G\times G\to G
  • (역원) 일항 연산 ^{-1}\colon G\to G
  • (항등원) 영항 연산 1\in G

유사환 (R,\cdot,+,-,0)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

(R,\cdot,+,-,0,1)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산 \cdot\colon R\times R\to R
  • (덧셈) 이항 연산 +\colon R\times R\to R
  • (덧셈 역원) 일항 연산 -\colon R\to R
  • (덧셈 항등원) 영항 연산 0\in G
  • (곱셈 항등원) 영항 1\in G

R에 대한 가군 (M,+,-,0,r\cdot_{r\in R})은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (덧셈) 이항 연산 +\colon M\times M\to M
  • (덧셈 역원) 일항 연산 -\colon M\to M
  • (덧셈 항등원) 영항 연산 0\in G
  • (스칼라 곱셈) R의 각 원소 r\in R에 대하여, 일항 연산 r\cdot\colon M\to M

만약 R가 무한 집합이라면, 이 경우 R-가군의 연산의 집합 역시 무한 집합이다.

의 경우, 위 정의에 따르면 대수적 구조로 보기 힘든데, 이는 곱셈에 대한 역원 ^{-1}이 모든 원소에 대하여 정의되지 않기 때문이다. 체의 경우, 곱셈 역원의 연산을 잊고 환으로 볼 수 있으나, 이 경우 체들의 모임대수적 구조 다양체를 이루지 못한다. 실제로, 체의 경우 (자명하지 않은) 몫이나 합동 관계 따위가 존재하지 않으므로, 체의 이론은 군이나 환의 이론과 상당히 다르다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Burris, Stanley N., Hanamantagouda P. Sankappanavar (1981년). 《A course in universal algebra》, Graduate Texts in Mathematics 78, ISSN 0072-5285. Springer. MR0648287. Zbl 0478.08001. ISBN 978-1-4613-8132-7

바깥 고리[편집]

  • (영어) Algebraic system. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).