대수적 구조

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추상대수학에서, 대수적 구조(代數的構造, 영어: algebraic structure)는 연산들이 갖추어진 집합이다. ··가군 등을 보편적으로 일컫는 용어다. 추상대수학은 다루는 대수적 구조에 따라서 구분되며, 일반적인 대수적 구조를 추상적으로 연구하는 분야를 보편 대수학이라고 한다.

정의[편집]

대수적 구조 (S,F)는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • S집합이다.
  • F=\{(n_\alpha,f_\alpha)\}_{\alpha\in A}는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.
    • n_\alpha\in\mathbb N은 음이 아닌 정수이다.
    • f_\alpha\colon\overbrace{S\times S\times\cdot\times S}^{n_\alpha}\to S는 함수이다. 이러한 함수를 n_\alpha항 연산(영어: n_\alpha-ary operation)이라고 한다. (\overbrace{S\times S\times\cdot\times S}^0은 하나의 원소를 갖는 임의의 집합이다.)

대수적 구조는 이러한 연산들이 만족시켜야 하는 항등식에 대한 데이터를 담고 있지 않다. 이러한 데이터를 포함하는 대상을 대수적 구조 다양체라고 한다.

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집합은 아무런 연산이 정의되어 있지 않는 대수적 구조이다.

모노이드 (M,\cdot,1)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

(G,\cdot,{}^{-1},1)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산 \cdot\colon G\times G\to G
  • (역원) 일항 연산 ^{-1}\colon G\to G
  • (항등원) 영항 연산 1\in G

유사환 (R,\cdot,+,-,0)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

(R,\cdot,+,-,0,1)은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (곱셈) 이항 연산 \cdot\colon R\times R\to R
  • (덧셈) 이항 연산 +\colon R\times R\to R
  • (덧셈 역원) 일항 연산 -\colon R\to R
  • (덧셈 항등원) 영항 연산 0\in G
  • (곱셈 항등원) 영항 1\in G

R에 대한 가군 (M,+,-,0,r\cdot_{r\in R})은 다음과 같은 연산들이 정의된 집합이다.

  • (덧셈) 이항 연산 +\colon M\times M\to M
  • (덧셈 역원) 일항 연산 -\colon M\to M
  • (덧셈 항등원) 영항 연산 0\in G
  • (스칼라 곱셈) R의 각 원소 r\in R에 대하여, 일항 연산 r\cdot\colon M\to M

만약 R가 무한 집합이라면, 이 경우 R-가군의 연산의 집합 역시 무한 집합이다.

의 경우, 위 정의에 따르면 대수적 구조로 보기 힘든데, 이는 곱셈에 대한 역원 ^{-1}이 모든 원소에 대하여 정의되지 않기 때문이다. 체의 경우, 곱셈 역원의 연산을 잊고 환으로 볼 수 있으나, 이 경우 체들의 모임대수적 구조 다양체를 이루지 못한다. 실제로, 체의 경우 (자명하지 않은) 몫이나 합동 관계 따위가 존재하지 않으므로, 체의 이론은 군이나 환의 이론과 상당히 다르다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Algebraic system. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer (2001).