베스-추미노-위튼 모형

이론물리학과 수학에서 베스-추미노-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Witten (WZW) model), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Novikov-Witten model)은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

정의

리 군 위의 제르브

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 단일 연결 단순 리 군 $G$. 그 리 대수가 ${\mathfrak {g}}$라고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

$\operatorname {H} ^{3}(G;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

임을 보일 수 있다. 그 생성원을 $[\mu ]$라고 하자. 기하학적으로, 이는 $G$ 위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로, ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식

$B\colon \operatorname {Sym} ^{2}{\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$

및 3차 형식

${\tilde {\mu }}|_{1}\in \bigwedge ^{3}{\mathfrak {g}}^{*}$

${\tilde {\mu }}|_{1}\colon x\wedge y\wedge z\mapsto B(x,[y,z])$

을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해 $G$ 전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\tilde {\mu }}=B(\theta \wedge [\theta \wedge \theta ])\in \Omega ^{3}(G)$

여기서 $\theta \in \Omega ^{1}(G;{\mathfrak {g}})$는 $G$의 마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상 $[\mu ]$에 비례한다.

$[\mu ]=\alpha [{\tilde {\mu }}]$

그렇다면, $[\mu ]$의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식을

$\mu =\alpha {\tilde {\mu }}$

로 정의할 수 있다.

베스-추미노-위튼 작용

임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면) $\Sigma$ 및 매끄러운 함수(스칼라장)

$\phi \colon \Sigma \to G$

가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

• $\partial M_{3}=\Sigma$가 되는 3차원 유향 경계다양체 $M_{3}$
• $f\upharpoonright \sigma =\phi$가 되는 연속 함수 $f\colon M_{3}\to G$
• $\mathrm {d} \omega =f^{*}\mu$가 되는 2차 미분 형식 $\omega \in \Omega ^{2}(M_{3})$

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터 $(M_{3},f,\omega )$, $(M_{3}',f',\omega ')$가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

${\tilde {M}}_{3}=M_{3}\cup _{\Sigma }M_{3}'$

${\tilde {f}}\colon {\tilde {M}}_{3}\to G$

이에 따라, ${\tilde {M}}_{3}$은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서, $\mu$가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,

$\int _{{\tilde {M}}_{3}}{\tilde {f}}^{*}\mu =[{\tilde {M}}_{3}]\frown [\mu ]\in \mathbb {Z}$

이다. ($\frown$은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,

$\int _{\Sigma }(\alpha -\alpha ')=\int _{M_{3}}\phi ^{*}\mu -\int _{M_{3}'}\phi '^{*}\mu \in \mathbb {Z}$

임을 알 수 있다.

따라서,

$\exp(\mathrm {i} S_{2})=\exp \left(2\pi \mathrm {i} \int _{\Sigma }\alpha \right)$

는 $(M_{3},\phi ,\alpha )$의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제, $\Sigma$에 임의의 리만 계량 $g$를 부여하자. $G$의 베스-추미노-위튼 작용은

$\exp(\mathrm {i} S)=\exp(\mathrm {i} S_{1}+k\mathrm {i} S_{2})\qquad (k\in \mathbb {Z} )$

$S_{1}\propto \int _{\Sigma }-B(g^{-1}(\theta ,\theta ))$

이다. ($S_{1}$의 양의 실수 스칼라배는 $g$의 재정의로 흡수될 수 있다.) $k$는 준위(영어: level)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

• 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 지표 $a,b,c,\dots$
• $\Sigma$의 지표 $i,j,k,\dots$
• $M_{3}$의 지표 $I,J,K,\dots$

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

$S=S_{1}+S_{2}$

$S_{1}=-{\frac {k}{8\pi }}\int _{S^{2}}d^{2}x\,(Dg)^{2}$

$S_{2}=-{\frac {k}{24\pi }}\int _{B^{3}}d^{3}y\,\epsilon ^{ijk}f_{abc}D_{I}g^{a}D_{J}g^{b}D_{K}g^{c}$

여기서 $\epsilon ^{IJK}$는 레비-치비타 기호, $f_{abc}$는 리 대수의 구조 상수다.

물론, $S_{2}$로 인하여 오직 $\exp(\mathrm {i} S)\in \mathbb {C}$만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면 $\Sigma$에 $n$개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를 $C_{1},\dotsc ,C_{n}$이라고 할 때, 일반적으로 $\exp(\mathrm {i} S)$는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.^:§3.4

$\exp(\mathrm {i} S)\in \bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{g\upharpoonright C_{i}}$

여기서

• ${\mathcal {L}}$은 고리군 ${\mathcal {L}}G={\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {S} ^{1},G)$ 위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수 ${\hat {\mathfrak {g}}}$의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
• $g\upharpoonright C_{i}\colon \mathbb {S} ^{1}\cong C_{i}\to G$는 $g$의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
• ${\mathcal {L}}_{x}$는 선다발 ${\mathcal {L}}$의, $x\in {\mathcal {L}}G$에서의 올이다.
• ${\mathcal {L}}$ 위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약 $G$가 반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

양자화

베스-추미노-위튼 모형의 보존류($h=1$인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

그 힐베르트 공간은 다음과 같다.

${\mathcal {H}}_{k}=\bigoplus _{R\in \operatorname {IrRep} (G,k)}{\overline {V_{R_{k}}\otimes _{\mathbb {C} }V_{{\bar {R}}_{k}}}}$

여기서

• $\operatorname {IrRep} (G)$는 $G$의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
• $\operatorname {IrRep} (G,k)\subsetneq \operatorname {IrRep} (G)$는 $G$의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게 $\lambda _{R}\in {\mathfrak {h}}$가 $\langle \phi _{\mathfrak {g}},\lambda _{R}\rangle \leq k$를 만족시키는 것이다.^:(49) 여기서 $\phi _{\mathfrak {g}}$는 ${\mathfrak {g}}$의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계 $\Delta$의 양근의 집합 $\Delta ^{+}$에 대하여, $\forall \alpha \in \Delta ^{+}\colon \alpha +\phi \}$이다.)
• $R\in \operatorname {IrRep} (G)$ 및 $k\in \mathbb {N}$에 대하여, $R_{k}$는 아핀 리 대수 ${\hat {\mathfrak {g}}}$의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소 ${\mathsf {k}}\in {\hat {\mathfrak {g}}}$의 값이 $k$가 된다.
• ${\overline {\color {White}V}}$는 복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 물론 아핀 리 대수의 표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수의 표현을 갖는다. 이 경우

$c={\frac {k\dim G}{k+h^{\vee }(G)}}$

이다. 여기서 $h^{\vee }(G)$는 이중 콕서터 수이다.

이는 고리군 ${\mathcal {L}}G$의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약 $G=\operatorname {SU} (2)$일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로

$\operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2))=\{0,1/2,1,3/2,2,\dotsc \}$

$\operatorname {IrRep} (\operatorname {SU} (2),k)=\{0,1/2,1,\dotsc ,k/2\}$

이다.

성질

장방정식

베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식은

$\partial (g^{-1}{\bar {\partial }}g)=0$

이다.^:(3.18) (편의상, $\Sigma$ 위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

천-사이먼스 이론과의 관계

천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.^:§5 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS₃/CFT₂)로 생각할 수 있다. 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.

D막

위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류

$J=-\partial gg^{-1}$

${\bar {J}}=g^{-1}{\bar {\partial }}g$

를 생각하자. 이 경우, 조건

$J=-{\bar {J}}$

은 풀어 쓰면

$0=(\partial g)g^{-1}-g^{-1}{\bar {\partial }}g=\operatorname {Ad} (g)g^{-1}\partial g-g^{-1}{\bar {\partial }}g$

이다. 이는

$(\operatorname {Ad} (g)+1)g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g+(\operatorname {Ad} (g)-1)g^{-1}(\partial +{\bar {\partial }})g=0$

로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여, $G$의 $g$에서의 접공간 $\mathrm {T} _{g}G$를 딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간 $\mathrm {T} _{g}^{\parallel }G$과 수직한 부분 공간 $\mathrm {T} _{g}^{\perp }G$으로 구분할 수 있다. 그렇다면, $\mathrm {T} _{g}^{\perp }G$에 제한하였을 때 $\operatorname {Ad} (g)=1$이므로,

$\left(g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g\right)^{\perp }=0$

이 된다. 즉, 이는 접벡터 $g^{-1}(\partial -{\bar {\partial }})g$의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군의 켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다.

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게 $\lambda$가 정수 무게이어야 한다.^:§7.1 즉, $G$의 극대 원환면 $T\leq G$을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가 ${\mathfrak {h}}$라고 하자. 그렇다면, 무게 $\lambda \in {\mathfrak {\mathfrak {h}}}^{\vee }$에 대하여, 켤레류

$\{g\exp(2\pi \lambda /k)g^{-1}\colon g\in G\}$

를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건은 $\lambda$가 정수 무게인 것, 즉 $G$의 모든 근 $\alpha$에 대하여 $\langle \alpha ,\lambda \rangle \in \mathbb {Z}$인 것이다.

역사

율리우스 베스와 브루노 추미노, 세르게이 노비코프, 에드워드 위튼이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

참고 문헌

• Tsvelik, Alexei M. (2010년 5월). 《Quantum field theory in condensed matter physics》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511615832. ISBN 978-0-521-82284-8. 
• Walton, Mark (1999년 11월 24일). “Affine Kac–Moody algebras and the Wess–Zumino–Witten model” (영어). arXiv:hep-th/9911187. 
• Fuchs, Jürgen (1997). 〈Lectures on conformal field theory and Kac–Moody algebras〉. 《Conformal field theories and integrable models: lectures held at the Eötvös graduate course, Budapest, Hungary, 13–18 August 1996》. Lecture Notes in Physics (영어) 498. Springer-Verlag. 1–54쪽. arXiv:hep-th/9702194. doi:10.1007/BFb0105277. ISBN 978-3-540-63618-2. 

외부 링크

• “Wess-Zumino-Witten model”. 《nLab》 (영어). 
• “Geometry of physics — WZW terms”. 《nLab》 (영어). 
• “How to interpret the Sugawara construction from a physical or mathematical viewpoint?” (영어). Math Overflow.