교곱

대수적 위상수학에서 교곱(交곱, 영어: cap product 캡 프로덕트^[*])은 호몰로지류와 코호몰로지류를 하나의 호몰로지류로 축약시키는 연산이다.

정의

X가 위상 공간이며, R가 가환환이라고 하자. 그렇다면 $R$ 계수의 교곱 $\frown$은 다음과 같은 $R$-선형 변환이다.

$\frown \colon \operatorname {H} _{p}(X;R)\times \operatorname {H} ^{q}(X;R)\to \operatorname {H} _{p-q}(X;R)\qquad (p\geq q)$

여기서 $\operatorname {H} _{\bullet }(X;R)$ 및 $\operatorname {H} ^{\bullet }(X;R)$는 각각 $R$ 계수의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지이다.

이 연산은 다음과 같이 정의된다. 임의의 특이 쌍대사슬 $\psi \in C^{q}(X;R)$ 및 특이 단체 $\sigma \colon \triangle ^{p}\to \ X$에 대하여,

$\sigma \frown \psi {\stackrel {\text{def}}{=}}\psi (\sigma \circ \iota _{\{0,\dots ,q\}})\cdot \sigma \circ \iota _{\{q,\dots ,p\}}$

여기서

$\iota _{S}\colon \triangle ^{|S|-1}\hookrightarrow \triangle ^{p+q}$

($S\subset \{0,1,...,p+q\}$)는 $|S|-1$차원 표준 단체를 꼭짓점들이 $\{0,1,\dots ,p+q\}$인 $p+q$차원 표준 단체의, $S$에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 포함시키는 함수이다.

경사곱

두 위상 공간 $X$, $Y$ 및 가환환 $R$ 위의 가군 $M$, $N$이 주어졌을 때, $R$ 계수의 경사곱(傾斜-, 영어: slant product) $\backslash _{R}$은 다음과 같은 $R$-선형 변환이다.

$\backslash _{R}\colon \operatorname {H} _{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X\times Y;N)\to \operatorname {H} ^{q-p}(Y;M\otimes _{R})\qquad (q\geq p)$

구체적으로, 사슬 복합체 사이에 다음과 같은 사상이 존재한다.

$f\colon C_{p}(X;M)\times C_{q}(Y;N)\to C_{p+q}(X\times Y;M\otimes _{R}N)$

만약 세포 호몰로지를 사용할 경우 이는 두 CW 복합체의 곱공간 위의 표준적인 세포 구조이다. 만약 특이 호몰로지를 사용할 경우, 이는

$\alpha \colon \triangle ^{p}\to X$

$\beta \colon \triangle ^{q}\to Y$

에 대하여, 단체의 곱공간 $\triangle ^{p}\times \triangle ^{q}$ 위에 부여한 임의의 단체 복합체 구조 아래 기본류를 나타내는 특이 순환

$\gamma =\sum _{i\in I}r_{i}\gamma _{i}\in C_{p+q}(\triangle ^{p}\times \triangle ^{q};R)$

$\gamma _{i}\colon \triangle ^{p+q}\to \triangle ^{p}\times \triangle ^{q}$

을 골랐을 때

$f\colon (\alpha ,\beta )\mapsto \sum _{i\in I}r_{i}\left((\alpha ,\beta )\circ \gamma _{i}\right)$

이다.

그렇다면, 경사곱은 다음과 같다.

$\backslash _{R}\colon \operatorname {H} _{p}(X;M)\times \operatorname {H} ^{q}(X\times Y;N)\to \operatorname {H} ^{q-p}(Y;M\otimes _{R}N)$

$\alpha \backslash _{R}\beta \colon \sigma \mapsto \beta (f(\alpha ,\sigma ))$

역사

교곱은 1936년 에두아르트 체흐가 처음으로 도입하였으며, 1938년에 해슬러 휘트니도 독립적으로 재발견하였다. 교곱의 기호 $\frown$는 휘트니가 고안하였다.

같이 보기

• 합곱
• 푸앵카레 쌍대성
• 특이 호몰로지
• 호몰로지

참고 문헌

• 조용승 (2010년 9월). 《대수적 위상수학》. 경문사. ISBN 978-89-6105-365-5. 2015년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 7일에 확인함. 
• Hatcher, Allen (2002). 《Algebraic topology》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. MR 1867354. Zbl 1044.55001. 

외부 링크

• “Cap product”. 《nLab》 (영어). 
• “Slant product”. 《nLab》 (영어).