가환대수학과 대수적 수론에서 분수 아이디얼(分數ideal, 영어: fractional ideal)은 분모가 허용되는, 아이디얼의 일반화이다. 아이디얼 유군을 정의할 때 사용된다.
분수 아이디얼[편집]
가환환
가 주어졌다고 하고, 그 전분수환을
라고 하자.
의 분수 아이디얼
는 다음 두 조건을 만족시키는 집합이다.
는
에 대한 가군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
는 덧셈에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의
에 대하여,
이다.
- 임의의
및
에 대하여,
이다.
인
가 존재한다.
두 분수 아이디얼
의 곱은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}=\left\{a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\colon a_{1},\dots ,a_{n}\in {\mathfrak {I}},\;b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in {\mathfrak {J}},\;n\in \mathbb {N} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0aed4949c2c6d287f07ecda84029c79309a404)
이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며,
는 곱셈에 대한 항등원을 이룬다 (
). 따라서, 정역
의 분수 아이디얼들의 집합
은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.
분수 아이디얼들의 가환 모노이드의 가역원을 가역 분수 아이디얼(영어: invertible fractional ideal)이라고 하며, 가역 분수 아이디얼들은 아벨 군
을 이룬다.
두 분수 아이디얼
의 합
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}+{\mathfrak {J}}=\{a+b\colon a\in {\mathfrak {I}},b\in {\mathfrak {J}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a98cbef6170bf44f70af31e5084b5a2fdd1f6b)
역시 분수 아이디얼을 이룬다. (이는 만약
에 대하여
라면
이기 때문이다.) 이는 결합 법칙과 교환 법칙을 만족시키며, 영 아이디얼
은 그 항등원을 이룬다. 또한, 곱셈에 대하여 분배 법칙 역시 성립하므로,
는 반환을 이룬다.
유한 또는 무한 개의 분수 아이디얼들
의 교집합
![{\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\mathfrak {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9445e42632707f8a9571fc3774d3c03b25e3d9d7)
역시 분수 아이디얼을 이룬다. 그러나 (
자체는 일반적으로 분수 아이디얼이 아니므로) 이 연산은 일반적으로 항등원을 갖지 않는다.
주 분수 아이디얼[편집]
다음과 같은 곱셈 모노이드 준동형이 존재한다.
![{\displaystyle (\operatorname {Frac} R,\times )\to (\operatorname {FracIdeal} (R),\times )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12ed059d38c01a6e9ae45788997c4b94c068632)
![{\displaystyle a\mapsto Ra=\{ra\colon r\in R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655d3a55f4b4e93921ad7d8083869d518ec0a754)
![{\displaystyle (Ra)(Rb)=R(ab)\qquad \forall a,b\in R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8de725e05a370abe03b911521fdc3c9a55c1d0d)
그러나 일반적으로
이므로 이는 반환의 준동형을 이루지 못한다.
의 주 분수 아이디얼(主分數ideal, 영어: principal fractional ideal)의 집합
은 이 모노이드 준동형의 치역이다. 즉, 주 분수 아이디얼은
의 꼴로 나타낼 수 있는 분수 아이디얼이다.
이 모노이드 준동형의 핵은 다음과 같다.
![{\displaystyle Ra=Rb\iff \exists u\in R^{\times }\colon a=ub}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67614d68b0b873ad5e2c338e47bec0e015e68e7)
즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }\cong {\frac {\operatorname {Frac} (R)^{\times }}{R^{\times }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e34309a30f61c2f9ef8c5cb66436cdadcaad1b)
인자 아이디얼[편집]
의
-부분 가군
에 대하여, 다음 기호를 정의하자.
![{\displaystyle (R:{\mathfrak {I}})=\{a\in \operatorname {Frac} R\colon a{\mathfrak {I}}\subseteq R\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f84b72196b0621aebf42c5fc87c2d255b06a2b7)
즉,
는
를 부분 집합으로 포함하는 모든 주 분수 아이디얼들의 교집합이다.
만약 분수 아이디얼
가
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5fd2d4f45229c87fd20558277a364cea50b75c3)
를 만족시킨다면,
를 인자 아이디얼(因子ideal, 영어: divisorial ideal)이라고 한다. 그 집합을
로 표기하자.
위에 다음과 같은 곱을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle {\mathfrak {I}}\cdot {\mathfrak {J}}=(R:(R:{\mathfrak {I}}{\mathfrak {J}}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae13c3a69c2fcfccb6938c38cb7e0185350a337)
이 곱에 대하여
는 가환 모노이드를 이룬다. 만약
가 뇌터 정수적으로 닫힌 정역의 경우 이는 아벨 군을 이루며, 이 경우
의 역원은
이다.
에 대하여
이므로, 모든 가역 주 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이다. 보다 일반적으로, 모든 가역 분수 아이디얼은 인자 아이디얼이며, 이 경우
이다.
임의의 정역
에서, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}&\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }&\subseteq &\operatorname {DivIdeal} (R)&\subsetneq &\operatorname {FracIdeal} (R)\\&\cup &&&&\cup \\\operatorname {PrFracIdeal} (R)\cap \operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }=&\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }&&\subsetneq &&\operatorname {PrFracIdeal} (R)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bbf479cde74ab4b60a99b5d0a8c678ac548c18)
크룰 정역[편집]
크룰 정역에서, 인자의 이론은 인자 아이디얼을 통해 전개할 수 있다. 크룰 정역
에서 높이가 1인 소 아이디얼들은 인자 아이디얼을 이루며,
를 생성한다.
이 경우, 몫군
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {DivIdeal} (R)}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }}}=\operatorname {Div} (R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47bcd048aa04acc9ef99ddacc58b0a5f18f42b7a)
을
의 인자 유군이라고 하며, 이는 아이디얼 유군을 부분군으로 갖는다.
데데킨트 정역[편집]
데데킨트 정역의 경우, 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역 분수 아이디얼이다. 즉, 다음이 성립한다.
- 주 아이디얼 ⊆ 주 분수 아아디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
구체적으로, 정역
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 데데킨트 정역이다.
의 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역 분수 아이디얼이다.
이 경우, 몫군
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {FracIdeal} (R)}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)}}=\operatorname {Cl} (R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f5acea3218e5d9011d9227ce88803d46a03eed)
을
의 아이디얼 유군이라고 한다.
두 데데킨트 정역
이 주어졌으며,
가
의 (분수체
속의) 정수적 폐포라고 한다면, 아이디얼 노름이라는 곱셈 모노이드 준동형
![{\displaystyle \operatorname {N} _{S/R}\colon \operatorname {FracIdeal} S\to \operatorname {FracIdeal} R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba30f9a489bfa33db5c0955da85b9b84158af755)
을 정의할 수 있으며, 이는 (주 분수 아이디얼에 대하여 적용한다면) 체 노름의 일반화이다.
유일 인수 분해 정역[편집]
유일 인수 분해 정역의 경우, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다. 즉, 유일 인수 분해 정역의 경우 다음이 성립한다.
- 주 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 ⊆ 분수 아이디얼
구체적으로, 정역
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는 유일 인수 분해 정역이다.
는 크룰 정역이며, 모든 인자 아이디얼은 주 분수 아이디얼이다.
주 아이디얼 정역과 체[편집]
주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역이자 유일 인수 분해 정역이므로, 다음이 성립한다.
- 주 아이디얼 = 아이디얼 ⊆ {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼
체에서는 아이디얼이
과
밖에 없다. 이 경우, 다음이 성립한다.
- 주 아이디얼 = 아이디얼 = {(0)} ∪ 가역 분수 아이디얼 = 주 분수 아아디얼 = 인자 아이디얼 = 분수 아이디얼 = {(0), (1)}
정수환
의 경우, 임의의 유리수
에 대하여
![{\displaystyle (p/q)={\frac {p}{q}}\mathbb {Z} =\{np/q\colon n\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e020fb6fa16ce017a7fd46912f485ec7c44472)
는 정수환의 분수 아이디얼이다. 이는
에 의하여 생성되므로, 주 분수 아이디얼이다. 정수환은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 분수 아이디얼이 이러한 꼴이다.
만약
이라면
![{\displaystyle (\mathbb {Z} :(p/q))={\frac {q}{p}}\mathbb {Z} =(q/p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11197d8f15fd5a568f96ddc38cfa51f8beee049)
이며,
![{\displaystyle (\mathbb {Z} :(q/p))={\frac {1}{n}}\mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad9671a61e056e019580b126b8b863117288243)
이다. 따라서 이는 인자 아이디얼을 이룬다. 만약
이라면,
![{\displaystyle (\mathbb {Z} :(0))=\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81cc8e29ef19fc7c02431bb66ebf053bcbd5599)
![{\displaystyle (\mathbb {Z} :\mathbb {Q} )=(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d1997af1c14ebfa7ad67dda8f9d280f5a19a5e)
이므로, 영 아이디얼 역시 인자 아이디얼이다.
외부 링크[편집]