표준 편차

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각 밴드의 너비가 1 표준편차인 정규분포의 구상. 68-95-99.7 규칙 참고.
예측값 0과 표준편차 1을 나타낸 정규분포의 누적 확률.

표준 편차(標準 偏差, 영어: standard deviation)는 자료의 산포도를 나타내는 수치로, 분산의 양의 제곱근으로 정의된다. 표준편차가 작을수록 평균값에서 변량들의 거리가 가깝다.[1] 통계학확률에서 주로 확률의 분포, 확률변수 혹은 측정된 인구나 중복집합을 나타낸다. 일반적으로 모집단의 표준편차는 (시그마)로, 표본의 표준편차는 (에스)로 나타낸다.[출처 필요]

편차(deviation)는 관측값에서 평균 또는 중앙값을 뺀 것이다.

분산(variance)은 관측값에서 평균을 뺀 값을 제곱하고, 그것을 모두 더한 후 전체 갯수로 나눠서 구한다. 즉, 차이값의 제곱의 평균이다. 관측값에서 평균을 뺀 값인 편차를 모두 더하면 0이 나오므로 제곱해서 더한다.

표준 편차(standard deviation)는 분산을 제곱근한 것이다. 제곱해서 값이 부풀려진 분산을 제곱근해서 다시 원래 크기로 만들어준다.

모 표준 편차(population standard deviation) σ는 모집단의 표준 편차이다. 모 분산 σ2에 제곱근을 씌워서 구한다.

표본 표준 편차(sample standard deviation) s는 표본의 표준 편차이다. 표본 분산 s2에 제곱근을 씌워서 구한다.

정의[편집]

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확률변수 의 흩어짐을 재는 데 사용되는 표준 편차

로 정의된다.[2]

통계적 추정[편집]

동일 경중률인 경우[편집]

경중률이 동일한 경우 표본 내의 어떤 변인 x가 가지는 모집단 표준편차의 추정치 s는 다음과 같다.

 : 표본의 표준편차
 : 변인
 : 표본의 평균
 : 표본의 크기
 : 잔차

분모를 n-1로 나누는 이유는 분산을 계산할 때 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 모집단의 편의된 추정값(biased estimator)이 되므로, 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)이 되도록 하기 위해서이다.[3] n-1을 자유도(degree of freedom)이라고 한다.[4]

경중률이 다른 경우[편집]

경중률을 w라 할 때, 인 경우에는 표준편차를 다음과 같이 구한다.[3]

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 이재기; 최석근; 박경식; 정성혁 (2013). 《측량학1》 2판. 형설출판사. 76-77쪽. ISBN 978-89-472-7336-7. 
  2. 송성주, 전명식. 《수리통계학》. 자유아카데미. 57쪽. 
  3. 이재기; 최석근; 박경식; 정성혁 (2013). 《측량학1》 2판. 형설출판사. 77쪽. ISBN 978-89-472-7336-7. 
  4. 이재기; 최석근; 박경식; 정성혁 (2013). 《측량학1》 2판. 형설출판사. 76쪽. ISBN 978-89-472-7336-7. 

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