카탈랑의 다면체

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마름모 십이면체와 그 면 배치이다
면 배치가 V4.6.10인 육방 이십면체는 120개의 면을 가진 가장 큰 카탈랑의 다면체이다.

수학에서, 카탈랑의 다면체 또는 아르키메데스 쌍대아르키메데스의 다면체쌍대다면체이다. 카탈랑의 다면체는 1865년에 처음으로 기술한 벨기에수학자 외젠 샤를 카탈랑의 이름을 따 왔다.

카탈랑의 다면체는 모두 볼록이다. 또한 면추이지만 점추이는 아니다. 그 이유는 쌍대인 아르키메데스의 다면체가 점추이지만 면추이는 아니기 때문이다. 정다면체아르키메데스의 다면체와 다르게 카탈랑의 다면체의 면은 정다각형이 아니다. 하지만 카탈랑의 다면체의 꼭짓점 도형은 정다각형이고, 이면각이 모두 균일하다. 카탈랑의 다면체는 면추이이기 때문에 등방체이다.

게다가 카탈랑의 다면체 중 둘은 변추이이다:마름모십이면체마름모삼십면체이다. 이것은 두 준정다면체의 쌍대이다.

각기둥엇각기둥을 아르키메데스 다면체로 보지 않는 것과 같이, 겹각뿔엇겹각뿔은 면추이임에도 불구하고 카탈랑의 다면체로 보지 않는다.

카탈랑의 다면체 중 두개는 카이랄상을 가지고 있다: 다듬은 정육면체다듬은 정십이면체의 쌍대인 오각이십사면체오각육십면체이다. 이것은 각각 거울상을 만든다. 거울상과 겹각뿔, 엇겹각뿔을 제외하면 카탈랑의 다면체는 총 13개가 있다.

n 아르키메데스의 다면체 카탈랑의 다면체
1 깎은 정사면체 삼방사면체
2 깎은 정육면체 삼방팔면체
3 깎은 육팔면체 육방팔면체
4 깎은 정팔면체 사방육면체
5 깎은 정십이면체 삼방이십면체
6 깎은 십이이십면체 육방이십면체
7 깎은 정이십면체 오방십이면체
8 육팔면체 마름모십이면체
9 십이이십면체 마름모삼십면체
10 마름모육팔면체 연꼴이십사면체
11 마름모십이이십면체 연꼴육십면체
12 부풀린 정육면체 오각이십사면체
13 부풀린 정십이면체 오각육십면체

대칭성[편집]

카탈랑의 다면체에서, 쌍대인 아르키메데스의 다면체를 따라 대칭성으로 묶을 수 있다: 정사면체, 정팔면체 그리고 정이십면체. 각 그룹마다 6가지 형태가 있다. 자기쌍대인 정사면체 그룹은 유일하게 3가지가 있고 나머지 둘은 정팔면체 그룹과 같다

정사면체 대칭
아르키메데스
Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png
카탈랑
Triakistetrahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg
정팔면체 대칭
아르키메데스
Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png
카탈랑
Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
정이십면체 대칭
아르키메데스
Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.svg Uniform polyhedron-53-t12.svg Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
카탈란
Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg

목록[편집]

이름
(쌍대)
콘웨이 이름
그림 정사영 면 도형 모서리 꼭짓점 공간대칭군
삼방사면체
(깎은 정사면체)
"kT"
Triakis tetrahedronTriakis tetrahedron Dual tetrahedron t01 ae.pngDual tetrahedron t01 A2.pngDual tetrahedron t01.png 이등변삼각형
DU02 facets.png
V3.6.6
12 18 8 Td
마름모십이면체
(육팔면체)
"jC"
Rhombic dodecahedronRhombic dodecahedron Dual cube t1 v.png Dual cube t1.pngDual cube t1 B2.png 마름모
DU07 facets.png
V3.4.3.4
12 24 14 Oh
삼방팔면체
(깎은 정육면체)
"kO"
Triakis octahedronTriakis octahedron Dual truncated cube t01 e88.pngDual truncated cube t01.pngDual truncated cube t01 B2.png 이등변삼각형
DU09 facets.png
V3.8.8
24 36 14 Oh
사방육면체
(깎은 정팔면체)
"kC"
Tetrakis hexahedronTetrakis hexahedron Dual cube t12 e66.pngDual cube t12.pngDual cube t12 B2.png 이등변삼각형
DU08 facets.png
V4.6.6
24 36 14 Oh
연꼴이십사면체
(마름모육팔면체)
"oC"
Deltoidal icositetrahedronDeltoidal icositetrahedron Dual cube t02 f4b.pngDual cube t02.pngDual cube t02 B2.png 연꼴
DU10 facets.png
V3.4.4.4
24 48 26 Oh
육방팔면체
(깎은 육팔면체)
"mC"
Disdyakis dodecahedronDisdyakis dodecahedron Dual cube t012 f4.pngDual cube t012.pngDual cube t012 B2.png 부등변삼각형
DU11 facets.png
V4.6.8
48 72 26 Oh
오각이십사면체
(다듬은 정육면체)
"gC"
Pentagonal icositetrahedronPentagonal icositetrahedron (Ccw) Dual snub cube e1.pngDual snub cube A2.pngDual snub cube B2.png 오각형
DU12 facets.png
V3.3.3.3.4
24 60 38 O
마름모삼십면체
(십이이십면체)
"jD"
Rhombic triacontahedronRhombic triacontahedron Dual dodecahedron t1 e.pngDual dodecahedron t1 A2.pngDual dodecahedron t1 H3.png 마름모
DU24 facets.png
V3.5.3.5
30 60 32 Ih
삼방이십면체
(깎은 정십이면체)
"kI"
Triakis icosahedronTriakis icosahedron Dual dodecahedron t12 exx.pngDual dodecahedron t12 A2.pngDual dodecahedron t12 H3.png 이등변삼각형
DU26 facets.png
V3.10.10
60 90 32 Ih
오방십이면체
(깎은 정이십면체)
"kD"
Pentakis dodecahedronPentakis dodecahedron Dual dodecahedron t01 e66.pngDual dodecahedron t01 A2.pngDual dodecahedron t01 H3.png 이등변삼각형
DU25 facets.png
V5.6.6
60 90 32 Ih
연꼴육십면체
(마름모십이이십면체)
"oD"
Deltoidal hexecontahedronDeltoidal hexecontahedron Dual dodecahedron t02 f4.pngDual dodecahedron t02 A2.pngDual dodecahedron t02 H3.png 연꼴
DU27 facets.png
V3.4.5.4
60 120 62 Ih
육방이십면체
(깎은 십이이십면체)
"mD"
Disdyakis triacontahedronDisdyakis triacontahedron Dual dodecahedron t012 f4.pngDual dodecahedron t012 A2.pngDual dodecahedron t012 H3.png 부등변삼각형
DU28 facets.png
V4.6.10
120 180 62 Ih
오각육십면체
(다듬은 정십이면체)
"gD"
Pentagonal hexecontahedronPentagonal hexecontahedron (Ccw) Dual snub dodecahedron e1.pngDual snub dodecahedron A2.pngDual snub dodecahedron H2.png 오각형
DU29 facets.png
V3.3.3.3.5
60 150 92 I

같이 보기[편집]

참조[편집]

외부 링크[편집]