추상대수학에서 최소 다항식(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 체에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.[1]
체
에 대한 멱결합 대수
의 원소
에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}=\{p\in K[x]\colon p(a)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb9fdf137e253d3d3db3a1e15a2e105aed489769)
(만약
가 1을 갖지 않는다면,
이다.) 그렇다면
는
의 아이디얼이다.
는 주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.
이다. 이 경우,
는 초월원이며,
는 초월 대수이다.
가 되는 일계수 다항식
가 존재한다. 이 경우,
를
의 최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며,
에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은
보다 차수가 더 크다.)
멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.
체의 확대[편집]
체의 확대
에 대하여,
은 가환
-단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서,
에서
의 최소 다항식
가 인수 분해가 가능하다면 (
),
는 정역이므로
이거나
이며,
이다. 그러나
는
의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.
대수적 확대
에서,
가 완전체라면 임의의
에 대하여
의 (대수적 폐포
에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나
가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우
가 분해 가능 확대가 아니라고 한다.
체
위의
정사각 행렬의 유한 차원
-단위 결합 대수
에서, 임의의 행렬
은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬
에 대하여,
과
의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약
이
를 포함하는 더 큰 체일 경우,
의
에서의 최소 다항식과
에서의 최소 다항식은 일치한다.
체
위의
행렬
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
은 삼각화 가능 행렬이다.
또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
은 대각화 가능 행렬이다.
케일리-해밀턴 정리에 따라,
의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로,
의 최소 다항식의 소인수 분해가
![{\displaystyle p_{M}(x)=\prod _{p}p^{n_{p}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d8de7e289c3b32ef32fd95cc5e40249e00b33d)
라면,
![{\displaystyle \deg p\mid \dim \ker p^{n_{p}}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5056d59154744443e1507eaba156589b98f2395)
![{\displaystyle n_{p}\leq \dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65ae0abebb4604e818f53938e06c069ad94afa6)
![{\displaystyle \det(x-M)=\prod _{p}p^{\dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31129ea44575ee79687ce4b787830500d801384c)
이다.[2]:196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4
체의 확대
에서,
라면,
이다.
실수체의 확대인 복소수체
에서,
의 최소 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle p_{z}(x)={\begin{cases}x-z&z\in \mathbb {R} \\(x-z)(x-{\bar {z}})=x^{2}-2(z+{\bar {z}})x+z{\bar {z}}&z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857dbde8b41340b74063d6d5f39038e9292711e1)
실수 행렬
![{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&-1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bc3da23f6abb0fb4814cea8be54d261beecd01)
의 특성 다항식은
![{\displaystyle \det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40fa81a2a06b1fa293186466fcf83b7469432288)
이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로,
의 최소 다항식 역시
![{\displaystyle p_{M}(x)=(x+1)(x-1)(x-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47cdd9f8cd9565d999834139021ca6e315461f7a)
이다.
대수적 수체[편집]
이차 수체
에서,
가 제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면
의 최소 다항식은
이다.
의
위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.
![{\displaystyle p_{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732ceda73be8e43766f5319a44146fc506763f72)
원분체
에서,
의 최소 다항식은 원분 다항식(영어: cyclotomic polynomial)
이라고 하며, 다음과 같다.
![{\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d5fe6a63f7317b440c2a621a8e04860eecb85f)
![{\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22eea5783d969617ede8d15e232572caa4f2be)
![{\displaystyle \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c529caab41daf865e1a73be7215dffce6f2b093)
![{\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d624c7a36228a9cebb9a09c403ac9f9964130b58)
![{\displaystyle \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b686ea018e6934323c335313de13464792d0b49c)
![{\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a0cb84a7c2bf27dd9397cfd4eb86c953ebedf0)
![{\displaystyle \Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d45b984e4fb4e80ac2850360390e18bc6d277f)
![{\displaystyle \Phi _{8}(x)=x^{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a8ddca5898dc61ec1494122ee41691828ddc5e)
![{\displaystyle \Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20858b70ffb4c48f00776b1ea3447aa78dc8d76e)
![{\displaystyle \Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70f580e690bbf76cb9d19d29d6b3e352998cd34)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
특히,
이 소수일 경우
![{\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b24dbfdf7bea6d2717ad09ff7f9df8a48266e1)
이다.
분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식[편집]
분해 가능 확대가 아닌 체의 확대
에서,
의 최소 다항식은
![{\displaystyle p_{y}(X)=X^{p}-x\in \mathbb {F} _{p}(x)[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632b2ddbc72c558a4994a51675e7233bf0860ad4)
이다. 이 경우,
위에서
![{\displaystyle p_{y}(X)=(X^{p}-({\sqrt[{p}]{x}})^{p})=(X-{\sqrt[{p}]{x}})^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bd7cd543c5f8e524c07d4665db20dc62876c19)
이다. 즉,
는 분해 가능 다항식이 아니다.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]