최소 다항식 (선형대수학)

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선형대수학에서, 정사각행렬최소다항식(最小多項式, minimal polynomial)은, 그 행렬을 영행렬로 소멸하는 일계수 다항식 중, 차수가 가장 낮은 하나이다.

케일리-해밀턴 정리에 따르면, 최소다항식은 같은 행렬의 특성다항식을 나눈다.

정의[편집]

V를 체 F 위의 유한차원 벡터 공간, T: VVV 위의 선형변환이라고 하자. 만약 다항식 PF[x]

(I는 항등변환)이면, PT소멸다항식(消滅多項式, annihilating polynomial)이라고 한다. F[x]에서, T의 소멸다항식들은 아이디얼 I를 이루며, 나아가 F가 체이므로, I주 아이디얼이다. I의 (단일) 생성원은 상수배 하에 유일하다. 이들 중 일계수인 다항식 p를 선형변환 T최소다항식이라고 한다.

유한(n)차원 벡터 공간 위의 선형변환에게는, 영이 아닌 소멸다항식이 꼭 존재한다. 따라서 (그들의 아이디얼을 생성하는) 최소다항식도 영이 아니다. 영이 아닌 소멸다항식의 존재는, Hom(V, V)이 유한(n2)차원 벡터 공간이므로,

중 임의의 n2 + 1 개의 선형변환이 선형종속임을 통해 알 수 있다.

정사각행렬 A의 최소다항식도 비슷하게 A의 최소 차수 일계수 소멸다항식으로 정의된다. 선형변환 TT의 여러 표현행렬들의 최소다항식은 같다. 다항식이 정사각행렬을 영행렬로 소멸할 필요충분조건이 상응하는 선형변환을 영변환으로 소멸하는 것이기 때문이다. 따라서 닮음행렬들의 소멸다항식과 최소다항식도 서로 동일하다.

성질[편집]

  • 선형변환의 최소다항식과 특성다항식의 은, 중복도를 제외하면 동일하다.
  • (케일리-해밀턴 정리) 행렬의 특성다항식은 그 행렬을 소멸한다. 즉, 특성다항식은 최소다항식의 배수이다.
  • 어떤 행렬이 삼각형화 가능할 필요충분조건은, 최소다항식이 일차식의 곱이라는 것이다. 따라서 대수적으로 닫힌 체 위의 행렬은 항상 삼각형화 가능하다.
  • 어떤 행렬이 대각화 가능할 필요충분조건은, 최소다항식이 일차식의 중복 없는 곱이라는 것이다.